物理学 › 場の量子論 › アノマリーとインスタントン

θ 真空

命題 5.5（「アノマリーとインスタントン」§5） ・ ✓公理まで証明済み

時間成分を A0=0A_0=0 に固定したゲージで、無限遠で 11 に近づく時間によらないゲージ変換のうち巻き付き数 11 のものを実現するユニタリ演算子を T\mathcal T とし、巻き付き数 nn の古典真空のまわりの状態 ∣n⟩|n\rangle が T∣n⟩=∣n+1⟩\mathcal T|n\rangle=|n+1\rangle を満たすとします。T\mathcal T はハミルトニアンおよびゲージ不変な演算子 O\mathcal O と可換です。このとき

∣θ⟩=∑n∈Ze−inθ∣n⟩|\theta\rangle=\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-in\theta}|n\rangle

は T∣θ⟩=eiθ∣θ⟩\mathcal T|\theta\rangle=e^{i\theta}|\theta\rangle を満たし、θ≠θ′\theta\ne\theta' なら ⟨θ′∣O∣θ⟩=0\langle\theta'|\mathcal O|\theta\rangle=0 です。さらに、巻き付き数 mm から nn への Euclid 時間 TE\mathcal T_E の遷移振幅が、位相的電荷 ν=n−m\nu=n-m の配位についての経路積分 ZνZ_\nu で与えられるとすると

⟨θ′∣e−HTE∣θ⟩=2πδ(θ−θ′)∑ν∈ZeiνθZν=2πδ(θ−θ′)∫DA e−S+iθν[A]\langle\theta'|e^{-H\mathcal T_E}|\theta\rangle=2\pi\delta(\theta-\theta')\sum_{\nu\in\mathbb Z}e^{i\nu\theta}Z_\nu=2\pi\delta(\theta-\theta')\int\mathcal DA\,e^{-S+i\theta\nu[A]}

です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。