スペクトル表示と揺動散逸定理

ボソン的な $A,B$ について次が成り立ちます。

1. $\omega_n\ne0$ なら $G_{AB}(i\omega_n)=\displaystyle\int d\omega'\frac{\rho_{AB}(\omega')}{\omega'-i\omega_n}$。$\omega_n=0$ では、右辺（$\omega'=0$ の点を除いた積分）に $\frac\beta Z\sum_{E_m=E_n}e^{-\beta E_m}A_{mn}B_{nm}$ が加わります。
2. $G^R_{AB}(\omega)=\displaystyle\int d\omega'\frac{\rho_{AB}(\omega')}{\omega-\omega'+i0}$。したがって $G^R_{AB}(\omega)=-G_{AB}(i\omega_n\to\omega+i0)$ で、$\rho_{AB}(\omega)=-\frac1\pi\mathrm{Im}\,G^R_{AA^\dagger}(\omega)$（$B=A^\dagger$ のとき）です。
3. $S_{AB}(-\omega)=e^{-\beta\omega}S_{BA}(\omega)$（詳細つり合い）、$S_{AB}(\omega)=2\pi\big(1+n_B(\omega)\big)\rho_{AB}(\omega)$（揺動散逸定理）。ここで $n_B(\omega)=\frac{1}{e^{\beta\omega}-1}$ です。