格子フェルミオンの多体理論

物理学博士・研究無料 0 章有料 6 章

Hubbard 模型と Nagaoka 強磁性、松原形式、BCS 汎関数、フェルミオンの多重尺度解析、朝永–Luttinger 模型とボソン化、Jordan–Wigner 変換と Bethe 仮説を扱う。

想定読者: 研究者・博士課程以上（数理物理）

前提テーマ:フォック空間と第二量子化、構成的場の理論と Euclid 手法、作用素環と量子統計力学、固体物理

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章Hubbard 模型と Nagaoka 強磁性本有限格子上の Hubbard 模型について、引力模型の基底状態の一意性、半充填の斥力模型の全スピン ||A|−|B||/2（Lieb の定理）、U=∞ で正孔 1 個の強磁性（Nagaoka–Thouless の定理）を証明し、正準経路でギャップを下から評価する。
2. 第 2 章松原形式と有限温度 Green 関数本有限自由度のフェルミオン系で虚時間 Green 関数の反周期性を KMS 条件から導き、Lehmann 表示、松原和の留数公式、自己エネルギーの符号を証明する。Luttinger–Ward 汎関数の停留性と、仮定を明示した Luttinger の定理を扱う。
3. 第 3 章BCS 汎関数と臨界温度本並進不変な BCS 汎関数で、常伝導状態が最小化元であることと作用素 K_T+V の非負性が同値であることを相対エントロピーの行列不等式から証明し、Birman–Schwinger 原理と Fermi 球面上の作用素で弱結合の臨界温度の漸近形を導く。
4. 第 4 章フェルミオンの多重尺度解析本Grassmann Gauss 積分の切断期待値を Brydges–Kennedy–Abdesselam–Rivasseau の森公式で木の和に書き、Gram–Hadamard 評価で n! を消して摂動級数の体積によらない収束を証明する。尺度分解での核の次元勘定、閉路気体表示、Coulomb 気体の遮蔽も扱う。
5. 第 5 章朝永–Luttinger 模型とボソン化本カイラル・フェルミオンの場を Heisenberg 代数の頂点作用素で表す公式を証明し、朝永–Luttinger 模型を Bogoliubov 変換で厳密に対角化する。Schwinger 項から来る異常を含む Ward 恒等式、2 点関数の異常次元、自由点での Coleman 対応を導く。
6. 第 6 章Jordan–Wigner 変換と Bethe 仮説本周期境界の XY 鎖を Jordan–Wigner 変換でパリティごとの 2 次フェルミオン系に直し、Fourier 変換と 2×2 の Bogoliubov 変換で全スペクトルを求める。XXZ 鎖では座標 Bethe 仮説の波動関数が固有ベクトルになることと Bethe 方程式を証明する。

「格子フェルミオンの多体理論」は 1 冊の本としてまとめています。無料章を読んで続きが気になったら、本の一覧からどうぞ。