解析関数に対する指数収束

定理 4.2（「スペクトル法」§4）・ ✓公理まで証明済み

$a \gt 0$ とし、 $u$ は帯状領域 $\{z : |\mathrm{Im}\,z| \lt a\}$ で正則で、 $u(z + 2\pi) = u(z)$ 、そこで $|u| \le M$ とする。 $0 \lt b \lt a$ 、 $N = 2K+1$ とすると

\begin{aligned} \|u - P_Nu\|_\infty &\le \frac{2M}{e^{b}-1}\,e^{-bK},\\ \|u - I_Nu\|_\infty &\le \frac{4M}{e^{b}-1}\,e^{-bK},\\ \|u' - (I_Nu)'\|_\infty &\le \frac{4M\,e^{b}}{(e^{b}-1)^2}\,(K+1)\,e^{-bK} \end{aligned}

が成り立つ。 $K = (N-1)/2$ なので、右辺はそれぞれ $O(e^{-bN/2})$ 、 $O(e^{-bN/2})$ 、 $O(Ne^{-bN/2})$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 108 件、定義なども含めて 129 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

帯状領域で正則な周期関数の Fourier 係数✓補題 3.1・数値積分 II
- グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - 複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
Fourier 係数が絶対総和可能な関数✓補題 2.2・スペクトル法
- ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
    一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
- 項別積分（極限と積分の交換）✓定理 5.2・関数列と一様収束
  - 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束（上で展開済み）
  - リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
    上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
    細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
- Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数
  - Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数
    Fejér の定理✓定理 4.2・フーリエ級数この先をたどる →
  - 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎
    二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
- コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式✓命題 2.2・Hilbert 空間の基礎
等比級数の裾✓補題 4.1・スペクトル法
- 等比級数の収束と発散✓命題 3.6・級数と収束判定
  - 一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定
    無限級数・部分和・和定義 3.1・級数と収束判定
折り返しの公式✓補題 3.3・スペクトル法
- Fourier 係数が絶対総和可能な関数✓補題 2.2・スペクトル法（上で展開済み）
- 指標の離散的な直交性と補間の一意性✓補題 3.2・スペクトル法
項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
- 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束（上で展開済み）
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
- 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

解析関数に対する指数収束

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）