可測集合族の構造

定理 4.5（「可測集合とルベーグ測度」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{M}$ は $\mathbb{R}$ 上の σ-加法族である。すなわち次の三つが成り立つ。

$\emptyset \in \mathcal{M}$ かつ $\mathbb{R} \in \mathcal{M}$ 。
$E \in \mathcal{M}$ ならば $E^{c} \in \mathcal{M}$ 。
$E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{M}$ ならば $\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \in \mathcal{M}$ 。

さらに、 $E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{M}$ が互いに素（ $i \ne j$ ならば $E_i \cap E_j = \emptyset$ ）ならば、任意の試験集合 $A \subset \mathbb{R}$ に対して

m^{*}\left( A \cap \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m^{*}(A \cap E_n)

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 16 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度
- 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定
    単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定
    三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面この先をたどる →
    共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面この先をたどる →
    比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定（上で展開済み）
    絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定この先をたどる →
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
    複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定（上で展開済み）
    絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定この先をたどる →
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
    有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度
- 可測性の検証は片側の不等式で足りる✓補題 4.2・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
- 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
ルベーグ可測集合（カラテオドリの条件）定義 4.1・可測集合とルベーグ測度
可測性の検証は片側の不等式で足りる✓補題 4.2・可測集合とルベーグ測度
- 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
- ルベーグ可測集合（カラテオドリの条件）定義 4.1・可測集合とルベーグ測度

これを使っている定理証明で参照している 3 件

ルベーグ測度の完全加法性✓系 4.7・可測集合とルベーグ測度
区間・開集合・ボレル集合の可測性✓定理 5.1・可測集合とルベーグ測度
可測集合はボレル集合と零集合の差でしか違わない✓命題 6.6・可測集合とルベーグ測度

可測集合族の構造

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件