数学 › 解析学（実解析） › 可測集合とルベーグ測度
可測集合はボレル集合と零集合の差でしか違わない
について、次の 3 条件は同値である。
- 。
- 任意の に対し、開集合 で となるものが存在する。
- 集合（閉集合の可算和） と 集合（開集合の可算交叉） で かつ となるものが存在する。
とくに ならば （、 は零集合）と書ける。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 29 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
区間・開集合・ボレル集合の可測性✓定理 5.1・可測集合とルベーグ測度
可測性の検証は片側の不等式で足りる✓補題 4.2・可測集合とルベーグ測度
- 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
- ルベーグ可測集合（カラテオドリの条件）定義 4.1・可測集合とルベーグ測度
- 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
- 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
- 可測集合族の構造✓定理 4.5・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
- 可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
- 外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
可測集合族の構造✓定理 4.5・可測集合とルベーグ測度
- 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
- 外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
- ルベーグ可測集合（カラテオドリの条件）定義 4.1・可測集合とルベーグ測度
- 可測性の検証は片側の不等式で足りる✓補題 4.2・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
外測度零の集合は可測✓命題 4.4・可測集合とルベーグ測度
- 可測性の検証は片側の不等式で足りる✓補題 4.2・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
- 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度
二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定
- 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定
- 三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面 この先をたどる →
- 共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面 この先をたどる →
- 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定（上で展開済み）
- 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定 この先をたどる →
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
- 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定（上で展開済み）
- 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定 この先をたどる →
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
- 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度
- 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度（上で展開済み）
- 可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
ルベーグ測度の完全加法性✓系 4.7・可測集合とルベーグ測度
これを使っている定理 証明で参照している 1 件
- ルベーグ可測関数はボレル可測関数とほとんど至るところ等しい✓補題 6.7・可測集合とルベーグ測度