数学 › 解析学（実解析） › L^p 空間と関数解析への導入

$L^p$ はノルム空間

系 4.6（「L^p 空間と関数解析への導入」§4）・ ✓公理まで証明済み

$1 \le p \le \infty$ とする。 $L^p(\mu)$ は $\mathbb{K}$ 上の線形空間であり、 $\|\cdot\|_p$ はその上のノルムである。すなわち任意の $f, g \in L^p(\mu)$ 、 $c \in \mathbb{K}$ に対して

\|f\|_p \ge 0, \qquad \|f\|_p = 0 \iff f = 0, \qquad \|cf\|_p = |c|\,\|f\|_p, \qquad \|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
  - ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入

これを使っている定理証明で参照している 1 件

$W^{k,p}$ は Banach 空間✓命題 2.3・Sobolev 空間

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