重点サンプリングの分散と最適な提案

定理 6.2（「Monte Carlo 積分と分散低減」§6）・ ✓公理まで証明済み

定義 6.1 の設定で次が成り立つ。

$\mathbb{E}_q[f(X)w(X)] = I$ 。したがって $\hat I_N^{\mathrm{is}}$ は不偏である。
$\mathrm{Var}\bigl(\hat I_N^{\mathrm{is}}\bigr) = \dfrac1N\Bigl(\displaystyle\int_{\{q > 0\}}\frac{f(x)^2p(x)^2}{q(x)}\,dx - I^2\Bigr)$ （右辺の積分が $+\infty$ のときは分散も $+\infty$ ）。
$c = \int|f|p > 0$ とする。すべての提案密度 $q$ について $\int_{\{q>0\}}f^2p^2/q \ge c^2$ で、 $q^* = |f|p/c$ のとき等号が成り立つ。すなわち分散の最小値は $(c^2 - I^2)/N$ である。特に $f \ge 0$ ならば $c = I$ で、 $q^* = fp/I$ による推定量の分散は $0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 96 件、定義なども含めて 117 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Monte Carlo 推定量の誤差✓定理 2.2・Monte Carlo 積分と分散低減
- 大数の強法則（コルモゴロフ）✓定理 4.5・大数の法則と中心極限定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ボレル・カンテリの補題（第一）✓補題 4.4・大数の法則と中心極限定理
  - 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値（上で展開済み）
  - マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
  - 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
  - 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値
    期待値定義 4.1・確率変数と期待値
    分布と分布関数定義 3.5・確率変数と期待値
    単関数の期待値の well-defined 性✓補題 4.2・確率変数と期待値
    標準近似列✓命題 4.4・確率変数と期待値この先をたどる →
    単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値（上で展開済み）
  - 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値（上で展開済み）
- 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
  - 期待値定義 4.1・確率変数と期待値
  - 確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値
- 中心極限定理（リンドバーグ・レヴィ）✓定理 5.6・大数の法則と中心極限定理
  - 特性関数の 2 次展開✓補題 5.4・大数の法則と中心極限定理
  - 指数関数への収束✓補題 5.5・大数の法則と中心極限定理
  - レヴィの連続性定理✓定理 5.2・大数の法則と中心極限定理
    分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理
    分布関数による特徴づけ（d = 1）✓補題 4.2・特性関数と Gauss ベクトル
    Lévy の連続性定理（収束先が既知の場合）✓定理 4.4・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
    Lévy の連続性定理（極限関数の連続性による存在）✓定理 4.7・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
  - 分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理
- 収束概念の含意✓定理 3.6・大数の法則と中心極限定理
  - 測度の連続性と σ-加法性の特徴づけ✓定理 4.3・確率空間とコルモゴロフの公理
    確率測度の基本性質✓定理 4.2・確率空間とコルモゴロフの公理この先をたどる →
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
    σ-加法族が閉じている演算✓命題 3.2・確率空間とコルモゴロフの公理この先をたどる →
  - マルコフ・チェビシェフの不等式✓命題 3.5・大数の法則と中心極限定理
- スルツキーの定理✓命題 6.1・大数の法則と中心極限定理
- 分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理

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自己正規化推定量の一致性・漸近分散・偏り✓命題 6.6・Monte Carlo 積分と分散低減

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