全有界・点列コンパクト・コンパクト

距離空間 $X$ について次を定義する。

• $X$ が全有界であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、有限個の点 $p_1, \ldots, p_m \in X$ があって $X = \bigcup_{i=1}^{m} B(p_i, \varepsilon)$ となることをいう。
• $X$ が点列コンパクトであるとは、$X$ の任意の点列が $X$ の点に収束する部分列をもつことをいう。
• $X$ がコンパクトであるとは、$X$ の開集合の族 $\{U_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ が $X = \bigcup_\lambda U_\lambda$ を満たすとき、有限個の $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ で $X = U_{\lambda_1} \cup \cdots \cup U_{\lambda_m}$ となるものが選べることをいう。