収束・コーシー列・完備性

距離空間 $(X, d)$ の点列 $(x_n)$ が $x \in X$ に収束するとは、$d(x_n, x) \to 0$ であること、すなわち任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $N$ があって $n \ge N$ ならば $d(x_n, x) < \varepsilon$ となることをいう。点列 $(x_n)$ がコーシー列であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $N$ があって $m, n \ge N$ ならば $d(x_m, x_n) < \varepsilon$ となることをいう。$X$ のコーシー列がすべて $X$ の点に収束するとき、$X$ は完備であるという。