等長写像と完備化

距離空間 $(X, d_X)$ から $(Y, d_Y)$ への写像 $\iota$ が等長写像であるとは、すべての $x, x' \in X$ で $d_Y(\iota(x), \iota(x')) = d_X(x, x')$ が成り立つことをいう（このとき $\iota$ は単射）。距離空間 $X$ の完備化とは、完備距離空間 $Y$ と、像 $\iota(X)$ が $Y$ で稠密であるような等長写像 $\iota : X \to Y$ の組 $(Y, \iota)$ のことである。ここで $A \subset Y$ が稠密とは、任意の $y \in Y$ と $\varepsilon > 0$ に対して $d(y, a) < \varepsilon$ となる $a \in A$ が存在することをいう。