距離空間

集合 $X$ 上の関数 $d : X \times X \to [0, \infty)$ が次の三条件を満たすとき、距離（metric）といい、組 $(X, d)$ を距離空間という。すべての $x, y, z \in X$ について

1. $d(x, y) = 0 \iff x = y$,
2. $d(x, y) = d(y, x)$,
3. $d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$（三角不等式）。

$x \in X$、$r > 0$ に対し $B(x, r) = \{\, y \in X \mid d(x, y) < r \,\}$ を開球、$\bar{B}(x, r) = \{\, y \in X \mid d(x, y) \le r \,\}$ を閉球と呼ぶ。部分集合 $A \subset X$ が開集合であるとは、すべての $a \in A$ に対して $B(a, r) \subset A$ となる $r > 0$ が存在することをいい、補集合が開集合であるものを閉集合という。