近傍系の公理

$X$ を集合とします。

(a) $X$ 上の位相が与える近傍系 $\{\mathcal{N}(x)\}_{x\in X}$ は、次の 4 条件を満たす。

• (N1) $\mathcal{N}(x)\ne\emptyset$ であり、$V\in\mathcal{N}(x)$ ならば $x\in V$。
• (N2) $V\in\mathcal{N}(x)$ かつ $V\subseteq W\subseteq X$ ならば $W\in\mathcal{N}(x)$。
• (N3) $V,W\in\mathcal{N}(x)$ ならば $V\cap W\in\mathcal{N}(x)$。
• (N4) $V\in\mathcal{N}(x)$ ならば、ある $W\in\mathcal{N}(x)$ が存在して、$W\subseteq V$ かつすべての $y\in W$ について $V\in\mathcal{N}(y)$。

(b) 逆に、各 $x\in X$ に集合族 $\mathcal{N}(x)\subseteq\mathfrak{P}(X)$ が与えられ、(N1)〜(N4) を満たすならば、各点 $x$ の近傍系がちょうど $\mathcal{N}(x)$ になるような $X$ 上の位相がただ 1 つ存在する。