数学 › 位相空間論 › 次元論の入口

0 次元空間の特徴づけ

命題 3.2（「次元論の入口」§3）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を位相空間とします。

$X\ne\emptyset$ のとき、 $\operatorname{ind}X=0$ であることは、 $X$ が開かつ閉な集合からなる開基をもつことと同値である。
$X$ が Lindelöf（定義 7.1［積位相・商位相と Tychonoff の定理］）で、 $\operatorname{ind}X\le0$ ならば、 $\dim X\le0$ である。
$X$ が $T_1$ で $\operatorname{ind}X\le0$ ならば、 $X$ は正則（定義 4.1［分離公理と距離づけ可能性］）かつ全不連結（定義 9.9［連結性］）である。
$X$ が $T_1$ 空間ならば、 $\operatorname{ind}X\le\operatorname{Ind}X$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念
- 位相空間定義 4.1・位相空間の定義と基本概念
- 閉集合族の性質✓命題 4.3・位相空間の定義と基本概念
  - ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語
    量化子の否定✓定理 5.3・数学の国語この先をたどる →
    外延性の原理公理 3.2・数学の国語
- 近傍定義 6.1・位相空間の定義と基本概念
分離と連結性定義 2.1・連結性

これを使っている定理証明で参照している 3 件

超距離空間は 0 次元✓命題 3.4・次元論の入口
有理数と無理数は 0 次元だが離散でない✓命題 3.5・次元論の入口
Cantor 集合の性質✓命題 4.2・次元論の入口

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