# ネットとフィルターによる収束：部分ネット・集積点・始位相での収束 > 部分ネットとフィルターの細分を定義し、集積点が部分ネットの極限であること、ネットとフィルターの対応、ハウスドルフ性と極限の一意性、始位相での収束を証明する。補可算位相で点列とネットの違いも示す。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/topology/nets-and-filters ## 0. この記事の要点 解析学では「収束する部分列を取り出す」という操作をよく使います。点列だけでは扱えない空間でも同じ操作ができるように、点列を一般化した道具が [ネット](/mathematics/topology/products-quotients-tychonoff#def-net) と [フィルター](/mathematics/topology/products-quotients-tychonoff#def-filter) です。この記事では、その 2 つが同じ内容の別の書き方であることを確かめ、読み終えると、位相空間で「収束する部分列がある」「極限が 1 つに決まる」といった主張を、どちらの言葉でも述べて証明できるようになります。 - ネットの**部分ネット**を、「添字を十分先へ送る写像」で定義します。部分列の一般化で、点列では取れない「部分」も含みます。ネットの集積点とは、まさにその点に収束する部分ネットが存在する点のことです。 - **フィルター基**から生成されるフィルター、フィルターの**細分**、フィルターの**集積点**を定義します。フィルターの集積点とは、あるより細かいフィルターの極限になる点のことです。 - ネットには**尾のフィルター**が、フィルターには**付随するネット**が対応し、収束・集積点・細分と部分ネットがきれいに翻訳されます。ネットとフィルターは同じ内容を二通りに書いたものです。 - [閉包](/mathematics/topology/topological-spaces#def-interior-closure)・連続性・[ハウスドルフ](/mathematics/topology/compactness#def-hausdorff)性は、フィルターの言葉でも述べられます。とくに **ハウスドルフ $\iff$ すべてのネット（フィルター）の極限が高々 1 つ** が成り立ちます。 - 始位相では、ネット（フィルター）の収束は「各写像による像の収束」と同値です。積位相での座標ごとの収束はその特別な場合で、関数空間の点ごと収束の位相がこれに当たります。 - 補可算位相の $\mathbb{R}$ では、点列の極限は一意なのに、相異なる 2 点に同時に収束するネットが存在します。点列の言葉ではハウスドルフ性は捉えきれません。 ## 1. 動機：点列を一般化する理由と、2 つの方法 [積位相・商位相と Tychonoff の定理](/mathematics/topology/products-quotients-tychonoff)では、点列で閉包・連続性・コンパクト性を調べられない空間が現れました。その対処として、添字集合 $\mathbb{N}$ を有向集合に取り替えた**ネット**と、収束に必要な情報だけを集合族として取り出した**フィルター**を導入し、閉包・連続性・コンパクト性の特徴づけと Tychonoff の定理の証明までを行いました。ただし、そこでは部分ネットという言葉を定義せず、ネットとフィルターの対応も注意で触れるだけにしていました。 この記事は、その先を扱います。解析学で「収束する部分列を取る」という操作は、位相空間論では次のどちらかで表されます。 1. **ネットの言葉**：集積点が存在する、収束する部分ネットが存在する。 2. **フィルターの言葉**：与えられたフィルターより細かく、収束するフィルターが存在する。 2 つの言葉の対応を厳密に与えれば、証明の道具を状況に応じて選べます。たとえば、点ごと収束の位相のような始位相で収束を判定するときはネットが直観的で、超フィルターの議論（次の記事）ではフィルターが扱いやすい、という具合です。 また、この記事は点列では駄目だった場面の補強でもあります。補可算位相の $\mathbb{R}$ はハウスドルフでありませんが、点列に限れば極限は一意です（[分離公理](/mathematics/topology/separation-axioms)の例）。ここでは、ネットを使えば非ハウスドルフ性が極限の非一意性として見えることを、命題として証明します。 以後、**[有向集合](/mathematics/topology/products-quotients-tychonoff#def-net)は空でないもの**とします。有向集合の定義は既出（）ですが、空の添字集合を許すと、そのネットはどの点にも収束しないのに、空間のすべての点が（条件が空虚に満たされて）集積点になり、 が成り立たなくなるためです。 ## 2. 部分ネット $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ を位相空間 $X$ のネットとする。有向集合 $M$ と写像 $\varphi : M \to \Lambda$ で、 $$ \forall \lambda_0 \in \Lambda,\ \exists \mu_0 \in M,\quad \mu \ge \mu_0 \implies \varphi(\mu) \ge \lambda_0 $$ を満たすものに対し、ネット $(x_{\varphi(\mu)})_{\mu \in M}$ を $(x_\lambda)$ の**部分ネット**という。 条件は「$\mu$ を十分先へ送れば $\varphi(\mu)$ も任意に指定した位置より先に行く」と読めます。$\Lambda = M = \mathbb{N}$ で $\varphi$ が狭義単調増加なら、部分ネットはふつうの部分列です。 教科書によっては、$\varphi$ に単調性（$\mu \le \mu'$ ならば $\varphi(\mu) \le \varphi(\mu')$）と、像 $\varphi(M)$ が $\Lambda$ の中で共終（任意の $\lambda_0$ に対し $\varphi(\mu) \ge \lambda_0$ なる $\mu$ がある）であることを課して部分ネットを定義します。この狭い定義の部分ネットは、上の定義でも部分ネットです。実際、$\lambda_0$ に対し $\varphi(\mu_0) \ge \lambda_0$ なる $\mu_0$ をとれば、$\mu \ge \mu_0$ のとき $\varphi(\mu) \ge \varphi(\mu_0) \ge \lambda_0$ となるからです。逆は成り立ちません。たとえば $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ を $\varphi(2k - 1) = 2k$、$\varphi(2k) = 2k - 1$（$k \ge 1$）としたものは上の条件を満たしますが単調ではありません。この記事では、条件を確かめやすい上の広い定義を使います。この記事で部分ネットを構成する箇所（ と の 3）で作る $\varphi$ はどれも単調で像が共終なので、これらの定理は狭い定義のもとでもそのまま成り立ちます。 ## 3. フィルター基・細分・集積点 フィルターの定義（）は集合族全体を指定するので、記述に冗長さがあります。小さな族で済ませる言い方が**フィルター基**です。 $X$ を集合とする。$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$ が **$X$ 上のフィルター基**であるとは、$\mathcal{B} \ne \emptyset$、$\emptyset \notin \mathcal{B}$ で、任意の $B_1, B_2 \in \mathcal{B}$ に対し $B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$ なる $B_3 \in \mathcal{B}$ が存在することをいう。このとき $$ \mathcal{F}(\mathcal{B}) := \{ A \subseteq X : B \subseteq A\ (\exists B \in \mathcal{B}) \} $$ を $\mathcal{B}$ が**生成するフィルター**という。$X$ 上のフィルター $\mathcal{F}, \mathcal{G}$ が $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}$ を満たすとき、$\mathcal{G}$ は $\mathcal{F}$ の**細分**である（$\mathcal{G}$ は $\mathcal{F}$ より**細かい**）という。 $\mathcal{F}(\mathcal{B})$ がフィルターであることは、定義から確かめられます。$X \in \mathcal{F}(\mathcal{B})$ は $\mathcal{B} \ne \emptyset$ から、$\emptyset \notin \mathcal{F}(\mathcal{B})$ は $\emptyset \notin \mathcal{B}$ と $\emptyset \supseteq B$ なら $B = \emptyset$ であることから従います。$A_1 \supseteq B_1$、$A_2 \supseteq B_2$ なら $A_1 \cap A_2 \supseteq B_3$（$B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$）となり、上位集合で閉じていることは明らかです。$\mathcal{F}(\mathcal{B})$ は $\mathcal{B}$ を含む最小のフィルターです。 位相空間 $X$ の点 $x$ の近傍全体 $\mathcal{N}(x)$（）はフィルターです。$X \in \mathcal{N}(x)$ で、近傍は $x$ を含むので空集合は含まれません。$V, V' \in \mathcal{N}(x)$ に対し、$x \in U \subseteq V$、$x \in U' \subseteq V'$ なる開集合 $U, U'$ をとれば $x \in U \cap U' \subseteq V \cap V'$ で $U \cap U'$ は開なので $V \cap V' \in \mathcal{N}(x)$、上位集合で閉じていることは定義から明らかです。$\mathcal{N}(x)$ は $x$ に収束する最小のフィルターで、**近傍フィルター**ともいいます。 位相空間のフィルターについて、収束と並ぶもう 1 つの概念を定義します。 $X$ を位相空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上のフィルターとする。点 $x \in X$ が $\mathcal{F}$ の**集積点**であるとは、すべての $F \in \mathcal{F}$ について $x \in \overline{F}$ となること、すなわち $x$ の任意の近傍 $U$ と任意の $F \in \mathcal{F}$ に対し $U \cap F \ne \emptyset$ となることをいう（同値性は の 4）。 収束は「$x$ の近傍がすべて $\mathcal{F}$ に入る」で、集積点は「$x$ の近傍がすべての $F \in \mathcal{F}$ と交わる」です。前者の方がずっと強い条件です。次の補題は、集積点の意味を細分で言い換えます。 $X$ を位相空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上のフィルター、$x \in X$ とする。 1. $\mathcal{F} \to x$ ならば、$\mathcal{F}$ の任意の細分も $x$ に収束し、$x$ は $\mathcal{F}$ の集積点である。 2. $x$ が $\mathcal{F}$ の集積点であるための必要十分条件は、$\mathcal{F}$ の細分で $x$ に収束するものが存在することである。 1. $\mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}$ なので $\mathcal{G} \to x$。$U \in \mathcal{N}(x)$ と $F \in \mathcal{F}$ に対し、$U, F \in \mathcal{F}$ だから $U \cap F \in \mathcal{F}$ で、フィルターは空集合を含まないので $U \cap F \ne \emptyset$。よって $x$ は集積点である。 2. 十分性は 1 の後半と細分を使えばよい：$\mathcal{G} \supseteq \mathcal{F}$ が $x$ に収束するなら、1 により $x$ は $\mathcal{G}$ の集積点で、$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}$ なので $x$ は $\mathcal{F}$ の集積点でもある（$F \in \mathcal{F}$ なら $F \in \mathcal{G}$ で $x \in \overline{F}$）。必要性：$x$ が $\mathcal{F}$ の集積点とする。$\mathcal{B} := \{ U \cap F : U \in \mathcal{N}(x),\ F \in \mathcal{F} \}$ は、各元が空でない（集積点の定義）。有限共通部分について、$(U \cap F) \cap (U' \cap F') = (U \cap U') \cap (F \cap F') \in \mathcal{B}$（$\mathcal{N}(x)$ と $\mathcal{F}$ はどちらも有限共通部分で閉じている。$\mathcal{N}(x)$ について閉じていることは近傍の定義から従う）。したがって $\mathcal{B}$ はフィルター基で、$\mathcal{G} := \mathcal{F}(\mathcal{B})$ は $\mathcal{F}$ と $\mathcal{N}(x)$ をともに含む（$F = U \cap F$ は $U = X$ として、$U = U \cap X$ は $F = X$ として $\mathcal{B}$ の元）。$\mathcal{G}$ は $\mathcal{F}$ の細分で $x$ に収束する。 最後に、順序集合上のフィルターの定義を述べておきます。集合上のフィルターは、その特別な場合として位置づけられます。 $(P, \le)$ を半順序集合（）とする。空でない部分集合 $F \subseteq P$ が $P$ の**フィルター**であるとは、(i) 上に閉じている（$p \in F$、$p \le q$ ならば $q \in F$）、(ii) 下に有向である（$p, q \in F$ ならば $r \le p$ かつ $r \le q$ なる $r \in F$ がある）ことをいう。双対的に、空でない $I \subseteq P$ が**イデアル**であるとは、下に閉じていて上に有向であることをいう。 集合 $X$ 上のフィルター（）とは、冪集合の半順序集合 $(\mathcal{P}(X), \subseteq)$ のフィルターで $\emptyset$ を含まないもののことです。実際、$\mathcal{F}$ が上の (i), (ii) を満たし $\emptyset \notin \mathcal{F}$ なら、$\mathcal{F} \ne \emptyset$ と (i) から $X \in \mathcal{F}$、(ii) から $A, B \in \mathcal{F}$ に対し $C \subseteq A \cap B$ なる $C \in \mathcal{F}$ がとれて (i) より $A \cap B \in \mathcal{F}$ です。逆も明らかです。補集合をとる写像 $A \mapsto X \setminus A$ は $(\mathcal{P}(X), \subseteq)$ の順序を逆にするので、フィルターとイデアルを入れ替えます。有限部分集合全体は $\mathcal{P}(X)$ のイデアルで、$X$ が無限集合のときその補集合族が補有限フィルターです。 ## 4. ネットとフィルターの対応 ネットから、その「十分先で成り立つ集合」を集めたフィルターが作れます。たとえば点列 $x_n = 1/n$ なら、「$n$ を十分大きくすれば $x_n$ がずっと入っている集合」を全部集めたものが尾のフィルターです。逆にフィルターからは、「集合 $F$ とその中の点 $a$ の組」を添字にすると、ネットが作れます。 1. $\boldsymbol{x} = (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ を集合 $X$ のネットとする。$\lambda_0 \in \Lambda$ に対し $T_{\lambda_0} := \{ x_\lambda : \lambda \ge \lambda_0 \}$ とおき、 $$ \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) := \{ A \subseteq X : \exists \lambda_0 \in \Lambda,\ \forall \lambda \ge \lambda_0,\ x_\lambda \in A \} $$ を $\boldsymbol{x}$ の**尾のフィルター**という。$\{T_{\lambda_0}\}_{\lambda_0}$ はこのフィルターのフィルター基である。 2. $\mathcal{F}$ を $X$ 上のフィルターとする。$\Lambda_{\mathcal{F}} := \{ (a, F) : F \in \mathcal{F},\ a \in F \}$ に、$(a, F) \le (a', F') \iff F \supseteq F'$ で順序を入れる。この有向集合上のネット $\boldsymbol{n}(\mathcal{F}) := (a)_{(a, F) \in \Lambda_{\mathcal{F}}}$（$(a, F)$ に $a$ を対応させる）を $\mathcal{F}$ に**付随するネット**という。 2 のものが有向集合であること：$X \in \mathcal{F}$ で $\emptyset \notin \mathcal{F}$ なので $X \ne \emptyset$ で、$\Lambda_{\mathcal{F}}$ は空でありません。反射律・推移律は包含の性質です。$(a, F)$、$(a', F')$ に対し $F \cap F' \in \mathcal{F}$ は空でないので $a'' \in F \cap F'$ をとれば、$(a'', F \cap F')$ が両者の上界です。1 の $\mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ がフィルターであることも同様です：$\Lambda \ne \emptyset$ なので空集合は含まれず、$A, B \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ に対する $\lambda_A, \lambda_B$ の上界 $\lambda_0$ をとれば $\lambda \ge \lambda_0$ で $x_\lambda \in A \cap B$ です。 まず、集積点と部分ネットの関係を示します。これはネットの側の主定理です。証明の方針は、集積点であることから「$x$ の近傍 $U$ と、$U$ に入る項の添字 $\lambda$」の組を新しい添字集合に取り、近傍が小さく、添字が先になるほど先の組とみなして、部分ネットを作るというものです。点列で $x$ にいくらでも近い項を順に拾って部分列を作る操作の一般化にあたります。 $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ を位相空間 $X$ のネット、$x \in X$ とする。$x$ がこのネットの集積点であるための必要十分条件は、$x$ に収束する部分ネットが存在することである。 （$\Leftarrow$）$(x_{\varphi(\mu)})_{\mu \in M}$ を $x$ に収束する部分ネットとする。$x$ の近傍 $U$ と $\lambda_0 \in \Lambda$ を任意にとる。 の条件から $\mu_0$ で、$\mu \ge \mu_0 \Rightarrow \varphi(\mu) \ge \lambda_0$ を満たすものがある。収束から $\mu_1$ で、$\mu \ge \mu_1 \Rightarrow x_{\varphi(\mu)} \in U$ を満たすものがある。$M$ は有向集合だから $\mu \ge \mu_0, \mu_1$ なる $\mu$ がとれ、$\lambda := \varphi(\mu)$ は $\lambda \ge \lambda_0$ かつ $x_\lambda \in U$ を満たす。よって $x$ は集積点である。 （$\Rightarrow$）$x$ を集積点とし、 $$ M := \{ (\lambda, U) \in \Lambda \times \mathcal{N}(x) : x_\lambda \in U \} $$ に、$(\lambda, U) \le (\lambda', U') \iff \lambda \le \lambda'$ かつ $U \supseteq U'$ で順序を入れる。これは前順序で、次の 3 点が成り立つ。 - $M \ne \emptyset$：任意の $\lambda$ に対し $x_\lambda \in X \in \mathcal{N}(x)$ なので $(\lambda, X) \in M$。 - $M$ は有向：$(\lambda_1, U_1), (\lambda_2, U_2) \in M$ に対し、$\nu \ge \lambda_1, \lambda_2$ をとり、$U := U_1 \cap U_2 \in \mathcal{N}(x)$ とする。集積点の定義から $\lambda \ge \nu$ で $x_\lambda \in U$ なるものがあり、$(\lambda, U) \in M$ は両者の上界である。 - $\varphi(\lambda, U) := \lambda$ は の条件を満たす：$\lambda_0$ が与えられたとき、集積点の定義（近傍 $X$ に適用）から $\lambda_1 \ge \lambda_0$ をとり、$\mu_0 := (\lambda_1, X)$ とおく。$(\lambda, U) \ge \mu_0$ なら $\lambda \ge \lambda_1 \ge \lambda_0$。 部分ネット $y_{(\lambda, U)} := x_\lambda$ が $x$ に収束することを示す。$V$ を $x$ の近傍とする。集積点の性質から $\lambda_1 \in \Lambda$ で $x_{\lambda_1} \in V$ なるものがあり、$\mu_0 := (\lambda_1, V) \in M$。$(\lambda, U) \ge \mu_0$ ならば $x_\lambda \in U \subseteq V$。 次に、ネットとフィルターを行き来する定理を述べます。 $X$ を位相空間とする。 1. ネット $\boldsymbol{x} = (x_\lambda)$ と点 $x \in X$ について、$x_\lambda \to x$ であることと $\mathcal{T}(\boldsymbol{x}) \to x$ であることは同値である。また、$x$ が $\boldsymbol{x}$ の集積点であることと、$x$ が $\mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ の集積点であることは同値である。 2. フィルター $\mathcal{F}$ に付随するネットの尾のフィルターは $\mathcal{F}$ である：$\mathcal{T}(\boldsymbol{n}(\mathcal{F})) = \mathcal{F}$。したがって、$\mathcal{F} \to x$ であることと $\boldsymbol{n}(\mathcal{F}) \to x$ であることは同値で、$x$ が $\mathcal{F}$ の集積点であることと $\boldsymbol{n}(\mathcal{F})$ の集積点であることは同値である。 3. $(y_\mu)$ が $\boldsymbol{x}$ の部分ネットならば、$\mathcal{T}(\boldsymbol{y})$ は $\mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ の細分である。逆に、$\mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ の任意の細分 $\mathcal{G}$ に対し、$\boldsymbol{x}$ の部分ネット $\boldsymbol{y}$ で $\mathcal{T}(\boldsymbol{y}) = \mathcal{G}$ となるものが存在する。 1. 収束：$x_\lambda \to x$ の定義は「$x$ の各近傍 $U$ に対しある $\lambda_0$ で $\lambda \ge \lambda_0 \Rightarrow x_\lambda \in U$」で、これは $U \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x})$、すなわち $\mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ にほかならない。集積点：$x$ がネットの集積点とし、近傍 $U$ と $A \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ をとる。$\lambda_0$ を $\lambda \ge \lambda_0 \Rightarrow x_\lambda \in A$ となるものとすると、集積点の定義から $\lambda \ge \lambda_0$ で $x_\lambda \in U$ なるものがあり、$x_\lambda \in U \cap A$。よって $x$ は $\mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ の集積点。逆に $x$ が $\mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ の集積点とし、近傍 $U$ と $\lambda_0$ をとる。$T_{\lambda_0} \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x})$（$\lambda_0$ 自身を取ればよい）なので $U \cap T_{\lambda_0} \ne \emptyset$、すなわち $\lambda \ge \lambda_0$ で $x_\lambda \in U$ なるものがある。 2. $B \in \mathcal{F}$ とする。$B \ne \emptyset$ なので $a_0 \in B$ をとり、$(a_0, B) \in \Lambda_{\mathcal{F}}$。$(a, F) \ge (a_0, B)$ なら $F \subseteq B$ で $a \in F \subseteq B$ だから、$B \in \mathcal{T}(\boldsymbol{n}(\mathcal{F}))$。逆に $B \in \mathcal{T}(\boldsymbol{n}(\mathcal{F}))$ とし、$(a_0, F_0)$ を「$(a, F) \ge (a_0, F_0) \Rightarrow a \in B$」を満たす添字とする。任意の $a \in F_0$ に対し $(a, F_0) \ge (a_0, F_0)$ なので $a \in B$。したがって $F_0 \subseteq B$ で $B \in \mathcal{F}$。残りは 1 を $\boldsymbol{n}(\mathcal{F})$ に適用すればよい。 3. $(y_\mu) = (x_{\varphi(\mu)})$ を部分ネットとし、$A \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ をとる。$\lambda_0$ を $\lambda \ge \lambda_0 \Rightarrow x_\lambda \in A$ となるものとし、 の条件から $\mu_0$ を $\mu \ge \mu_0 \Rightarrow \varphi(\mu) \ge \lambda_0$ となるようにとる。$\mu \ge \mu_0$ なら $y_\mu = x_{\varphi(\mu)} \in A$ なので、$A \in \mathcal{T}(\boldsymbol{y})$。 逆を示す。$\mathcal{G} \supseteq \mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ をフィルターとし、 $$ M := \{ (\lambda, A) \in \Lambda \times \mathcal{G} : x_\lambda \in A \},\qquad (\lambda, A) \le (\lambda', A') \iff \lambda \le \lambda'\text{ かつ }A \supseteq A' $$ とおき、$\varphi(\lambda, A) := \lambda$、$y_{(\lambda, A)} := x_\lambda$ とする。各 $T_\nu \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) \subseteq \mathcal{G}$ であることに注意する。 - $M$ は空でなく有向：$A \in \mathcal{G}$ と $\nu \in \Lambda$ に対し $A \cap T_\nu \in \mathcal{G}$ は空でないから、$\lambda \ge \nu$ で $x_\lambda \in A$ なるものがある（$T_\nu$ の定義）。とくに $A = X$ で $M \ne \emptyset$。$(\lambda_1, A_1), (\lambda_2, A_2) \in M$ に対し、$\nu \ge \lambda_1, \lambda_2$ をとり、$A := A_1 \cap A_2 \in \mathcal{G}$ について上の事実から $\lambda \ge \nu$ で $x_\lambda \in A$ なるものがとれ、$(\lambda, A)$ が上界。 - $\varphi$ は部分ネットの条件を満たす：$\lambda_0$ に対し $\mu_0 := (\lambda_1, X)$（$\lambda_1 \ge \lambda_0$ は上の事実で $A = X$ として得る）をとれば、$(\lambda, A) \ge \mu_0$ ならば $\lambda \ge \lambda_1 \ge \lambda_0$。 $\mathcal{T}(\boldsymbol{y}) = \mathcal{G}$ を示す。$B \in \mathcal{G}$ とする。上の事実から $\lambda_1$ で $x_{\lambda_1} \in B$ なるものがとれ、$\mu_0 := (\lambda_1, B) \in M$。$(\lambda, A) \ge \mu_0$ なら $y_{(\lambda, A)} = x_\lambda \in A \subseteq B$。よって $B \in \mathcal{T}(\boldsymbol{y})$。逆に $B \in \mathcal{T}(\boldsymbol{y})$ とし、$(\lambda_0, A_0) \in M$ を「$\mu \ge (\lambda_0, A_0) \Rightarrow y_\mu \in B$」となるものとする。$\lambda \ge \lambda_0$ かつ $x_\lambda \in A_0$ なる任意の $\lambda$ について、$(\lambda, A_0) \in M$ かつ $(\lambda, A_0) \ge (\lambda_0, A_0)$ なので $x_\lambda = y_{(\lambda, A_0)} \in B$。つまり $A_0 \cap T_{\lambda_0} \subseteq B$ である。$A_0, T_{\lambda_0} \in \mathcal{G}$ なので $B \in \mathcal{G}$。 この定理により、ネットの側の定義・主張はフィルターの側に、逆も同様に移せます。たとえば は の 2 に、$\mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ の細分と部分ネットの対応を通して翻訳されます。次の図は対応の全体像です。
ネット 収束・集積点・部分ネット フィルター 収束・集積点・細分 尾のフィルター T(x) 付随するネット n(F) y が x の部分ネット ⇒ T(y) は T(x) の細分（逆も成り立つ）
## 5. 閉包と連続性のフィルターによる特徴づけ 写像 $f : X \to Y$ とフィルター $\mathcal{F}$ に対し、$f_*\mathcal{F} = \{ B \subseteq Y : f^{-1}(B) \in \mathcal{F} \}$ は $Y$ 上のフィルターでした（ の証明の前半）。 $X, Y$ を位相空間とする。 1. $A \subseteq X$、$x \in X$ とする。$x \in \overline{A}$ であるための必要十分条件は、$A \in \mathcal{F}$ かつ $\mathcal{F} \to x$ なる $X$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ が存在することである。 2. 写像 $f : X \to Y$ が $x \in X$ で連続であるための必要十分条件は、$x$ に収束する $X$ 上のすべてのフィルター $\mathcal{F}$ について $f_*\mathcal{F} \to f(x)$ となることである。 1. （$\Rightarrow$）$x \in \overline{A}$ なら、$x$ の任意の近傍 $U$ について $U \cap A \ne \emptyset$（ の 4）。$\mathcal{B} := \{ U \cap A : U \in \mathcal{N}(x) \}$ は、$\mathcal{N}(x)$ が有限共通部分で閉じていることからフィルター基である。$\mathcal{F} := \mathcal{F}(\mathcal{B})$ は $A = X \cap A$ を含み、各近傍 $U \supseteq U \cap A$ も含むので $\mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{F}$、すなわち $\mathcal{F} \to x$。（$\Leftarrow$）$A \in \mathcal{F} \to x$ とする。任意の近傍 $U$ は $\mathcal{F}$ に属し、$U \cap A \in \mathcal{F}$ は空でない。よって $x \in \overline{A}$。 2. 連続性は による。（$\Rightarrow$）$f$ が $x$ で連続、$\mathcal{F} \to x$、$V$ を $f(x)$ の近傍とする。$f(x)$ を含む開集合 $V' \subseteq V$ に対し、$x$ を含む開集合 $U$ で $f(U) \subseteq V'$ なるものがある。$U \subseteq f^{-1}(V)$ で $U \in \mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{F}$ だから $f^{-1}(V) \in \mathcal{F}$、すなわち $V \in f_*\mathcal{F}$。（$\Leftarrow$）$\mathcal{F} := \mathcal{N}(x)$ は $x$ に収束するフィルターである（フィルターであることは の直後で確かめた）。仮定から $f_*\mathcal{N}(x) \to f(x)$。$f(x)$ を含む開集合 $V$ をとると、$V \in f_*\mathcal{N}(x)$ なので $U := f^{-1}(V) \in \mathcal{N}(x)$、つまり $x \in U' \subseteq U$ なる開集合 $U'$ があり、$f(U') \subseteq V$。よって $f$ は $x$ で連続。 ## 6. ハウスドルフ性と極限の一意性 収束先が一意であることは、解析学で $\lim$ という記号を使う前提でした。以下の定理は、その一意性が空間のどんな性質に対応するかを、ネットとフィルターで答えるものです。点列に限ると、これはハウスドルフ性と同値になりません（[分離公理](/mathematics/topology/separation-axioms)の補可算位相の例。この記事でも で証明し直します）。ネットまたはフィルターで言えば、同値になります。 $X$ を位相空間とする。 1. 相異なる $x, y \in X$ について、次の 3 条件は同値である。(i) $x$ の任意の近傍 $U$ と $y$ の任意の近傍 $V$ について $U \cap V \ne \emptyset$。(ii) $x$ と $y$ の両方に収束するネットが存在する。(iii) $x$ と $y$ の両方に収束するフィルターが存在する。 2. 次の 3 条件は同値である。(a) $X$ はハウスドルフである。(b) $X$ の任意のネットは高々 1 つの点に収束する。(c) $X$ 上の任意のフィルターは高々 1 つの点に収束する。 1. （i $\Rightarrow$ iii）$\mathcal{B} := \{ U \cap V : U \in \mathcal{N}(x),\ V \in \mathcal{N}(y) \}$ とおく。(i) より各元は空でなく、$(U \cap V) \cap (U' \cap V') = (U \cap U') \cap (V \cap V') \in \mathcal{B}$（$\mathcal{N}(x)$、$\mathcal{N}(y)$ は有限共通部分で閉じている）なので、$\mathcal{B}$ はフィルター基である。$\mathcal{F} := \mathcal{F}(\mathcal{B})$ は、$U = U \cap X$ より $\mathcal{N}(x)$ を、$V = X \cap V$ より $\mathcal{N}(y)$ を含む。すなわち $\mathcal{F}$ は $x$ と $y$ の両方に収束する。（iii $\Rightarrow$ ii）フィルター $\mathcal{F}$ が両方に収束するなら、付随するネット $\boldsymbol{n}(\mathcal{F})$ も両方に収束する（ の 2）。（ii $\Rightarrow$ i）ネット $(x_\lambda)$ が $x$ と $y$ に収束するとし、近傍 $U \ni x$、$V \ni y$ をとる。$\lambda_1$ を $\lambda \ge \lambda_1 \Rightarrow x_\lambda \in U$ となるもの、$\lambda_2$ を $\lambda \ge \lambda_2 \Rightarrow x_\lambda \in V$ となるものとし、$\lambda \ge \lambda_1, \lambda_2$ をとれば $x_\lambda \in U \cap V$。 2. $X$ がハウスドルフであることは、相異なるどの $x, y$ についても交わらない近傍 $U \ni x$、$V \ni y$ が存在すること、すなわち 1 の (i) が成り立たないことと同値である（交わらない近傍 $U, V$ はそれぞれ開集合 $U' \subseteq U$、$V' \subseteq V$ を含み、これらも交わらず、逆に交わらない開集合は近傍である）。よって (a) は「相異なるどの $x, y$ についても (i) が成り立たない」と同値で、1 により「相異なるどの $x, y$ についても (ii) が成り立たない」すなわち (b) と同値であり、「どの $x, y$ についても (iii) が成り立たない」すなわち (c) と同値でもある。 この定理は、ハウスドルフ空間の議論で $\lim$ を使ってよい根拠（既出の点列版 ）を、ネットとフィルターに拡張したものです。 ## 7. 始位相での収束 始位相（）は、写像の族に対して連続性を保証する最も粗い位相です。そこでの収束は、各写像の像の収束と同値です。 $X$ を集合、$\{(Y_j, \tau_j)\}_{j \in J}$ を位相空間の族、$f_j : X \to Y_j$ を写像とし、$X$ に始位相を入れる。$x \in X$ とする。 1. $X$ のネット $(x_\lambda)$ が $x$ に収束するための必要十分条件は、すべての $j$ について $f_j(x_\lambda) \to f_j(x)$ となることである。 2. $X$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ が $x$ に収束するための必要十分条件は、すべての $j$ について $(f_j)_*\mathcal{F} \to f_j(x)$ となることである。 $\mathcal{S} = \{ f_j^{-1}(V) : j \in J,\ V \in \tau_j \}$ を準基とする。$x$ の近傍 $N$ は、$x$ を含む開集合 $O$ を含み、$O$ は $\mathcal{S}$ の元の有限共通部分（開基 $\mathcal{B}(\mathcal{S})$ の元、 の 1）の合併だから、$x$ を含む有限共通部分 $W = f_{j_1}^{-1}(V_1) \cap \cdots \cap f_{j_m}^{-1}(V_m) \subseteq N$（$V_k \in \tau_{j_k}$、$f_{j_k}(x) \in V_k$）が存在する。 1. （$\Rightarrow$）各 $f_j$ は連続（ の 1）なので、 の 2。（$\Leftarrow$）$N$ と上の $W$ をとる。仮定から各 $k$ について $\lambda_k$ で、$\lambda \ge \lambda_k \Rightarrow f_{j_k}(x_\lambda) \in V_k$ を満たすものがある。有向集合なので全部の $\lambda_k$ 以上の $\lambda_0$ をとれる（$m = 0$ のときは任意の $\lambda_0$）。$\lambda \ge \lambda_0$ なら $x_\lambda \in W \subseteq N$。 2. （$\Rightarrow$） の 2 を連続な $f_j$ に適用する。（$\Leftarrow$）$N$ と $W$ をとる。仮定から各 $V_k \in (f_{j_k})_*\mathcal{F}$（$V_k$ は $f_{j_k}(x)$ の近傍）、すなわち $f_{j_k}^{-1}(V_k) \in \mathcal{F}$。フィルターは有限共通部分で閉じるので $W \in \mathcal{F}$（$m = 0$ なら $W = X \in \mathcal{F}$）、上位集合で閉じるので $N \in \mathcal{F}$。よって $\mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{F}$。 積位相は射影の族に関する始位相なので、 は 1 の特別な場合です。部分空間の位相は包含写像に関する始位相なので、1 を包含写像に適用すると、$A$ の点からなるネットが $A$ の点に収束することは、$X$ のネットとして収束することと同値です。 $C := C([0, 1])$ を $[0, 1]$ 上の実数値連続関数全体とし、$\mathbb{R}^{[0,1]}$ に点ごと収束の位相（評価写像 $f \mapsto f(t)$ の族に関する始位相）を入れた空間の部分集合とみなします。$f_n(t) = t^n$ は $C$ の列で、$t \in [0, 1)$ では $f_n(t) \to 0$、$t = 1$ では $f_n(1) = 1$ なので、極限は $\mathbf{1}_{\{1\}}$（$1$ だけで $1$、他で $0$）です。 の 1 により $f_n \to \mathbf{1}_{\{1\}}$ ですから、$\mathbf{1}_{\{1\}}$ は $C$ の閉包に入ります。しかし $\mathbf{1}_{\{1\}}$ は連続でないので $C$ に属さず、$C$ は閉集合ではありません。点ごと収束で連続関数の極限が連続とは限らない、という解析学の事実の位相的な言い換えです。 ## 8. 補可算位相：点列では捉えられない非ハウスドルフ性 最後に、点列とネットの違いを示す反例を、命題として証明します。$\mathbb{R}$ に補可算位相 $$ \tau_{\mathrm{cc}} := \{\emptyset\} \cup \{ U \subseteq \mathbb{R} : \mathbb{R} \setminus U\text{ は高々可算} \} $$ を入れます。これが位相であることは、開集合の任意合併の補集合は、空でない合併項の補集合に含まれるので[高々可算](/mathematics/foundations/cardinality-and-infinity#def-countable)で、有限共通部分の補集合は高々可算集合の有限合併なので高々可算であること、および $\emptyset, \mathbb{R}$ を含むことから従います。 $(\mathbb{R}, \tau_{\mathrm{cc}})$ について、次が成り立つ。 1. 空でない開集合 $U, V$ はつねに交わる。 2. 点列 $(x_n)$ が $x$ に収束するならば、ある $N$ があって $n \ge N$ で $x_n = x$ となる。とくに点列の極限は（あれば）一意である。 3. 相異なる任意の 2 点 $x, y$ に対し、$x$ と $y$ の両方に収束するネットが存在する。とくに $(\mathbb{R}, \tau_{\mathrm{cc}})$ はハウスドルフでない。 1. $\mathbb{R} \setminus (U \cap V) = (\mathbb{R} \setminus U) \cup (\mathbb{R} \setminus V)$ は高々可算である。$\mathbb{R}$ は非可算（）なので、$U \cap V \ne \emptyset$。 2. $C := \{ x_n : x_n \ne x \}$ は高々可算なので、$U := \mathbb{R} \setminus C$ は開集合で $x \in U$。収束により $N$ で $n \ge N \Rightarrow x_n \in U$ となるものがある。$x_n \notin C$ すなわち $x_n = x$ である。2 つの極限 $x, y$ があれば、十分大きい $n$ で $x_n = x$ かつ $x_n = y$ なので $x = y$。 3. $x \ne y$ とし、$x$ の近傍 $U$ と $y$ の近傍 $V$ をとる。$U, V$ は空でない開集合 $U' \ni x$、$V' \ni y$ を含み、1 より $U' \cap V' \ne \emptyset$ なので $U \cap V \ne \emptyset$。したがって の 1 の (i) が成り立ち、(ii) により両方に収束するネットがある。ハウスドルフでないことは、同定理の 2 の (a) と (b) の同値による。 3 で作るネットは、具体的には の 1 の証明にあるとおり、$\mathcal{N}(x)$ の元と $\mathcal{N}(y)$ の元の共通部分から生成したフィルターに付随するネットです。 2 は、補可算位相では点列が「最終的に定数」になるものしか収束しないことを示しています。点列は、位相の大きさ（非可算性）を見るには短すぎるのです。ネットは、$\mathcal{N}(x) \times \mathcal{N}(y)$ のような非可算な有向集合で添字づけられるので、その差が見えます。 ## 9. 例 点列 $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ の尾のフィルター $\mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ は、$\mathbb{N}$ の補有限集合全体（Fréchet フィルター）を写像 $n \mapsto x_n$ で送った像です。実際 $A \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ は「ある $N$ で $n \ge N \Rightarrow x_n \in A$」、すなわち $\{n : x_n \notin A\}$ が有限であることだからです。恒等写像 $x_n = n$ の場合は Fréchet フィルターそのものに一致します。このフィルターは超フィルターではありません。偶数全体 $E$ も、その補集合（奇数全体）も補有限ではないので、どちらもフィルターに属さず、 の条件が成り立たないからです。 $X = \mathbb{R}$、$x_n = (-1)^n$ のとき、$1$ はこの点列の集積点です（偶数番の項がすべて $1$）が、$1$ に収束はしません（奇数番の項は $-1$ で、$(1/2, 3/2)$ に入らない）。 により $1$ に収束する部分ネットがあり、実際に部分列 $x_{2m} = 1$ がそうです。尾のフィルターは $1$ に収束しませんが、 の 2 により、それを細分した $1$ に収束するフィルターが存在します（部分列 $(x_{2m})$ の尾のフィルターが、 の 3 により細分になっています）。$-1$ についても同様で、この点列の集積点はちょうど $\pm 1$ です。 ## 10. 演習 $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ をネット、$\Lambda' \subseteq \Lambda$ を共終な部分集合（任意の $\lambda \in \Lambda$ に対し $\lambda \le \lambda'$ なる $\lambda' \in \Lambda'$ がある）とする。$\Lambda'$ に $\Lambda$ の順序を制限したものが有向集合であり、制限 $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda'}$ が部分ネットであることを示せ。 $\Lambda' \ne \emptyset$ は共終性から従う。$\lambda_1, \lambda_2 \in \Lambda'$ に対し、$\Lambda$ で上界 $\nu$ をとり、共終性から $\lambda' \in \Lambda'$ で $\lambda' \ge \nu$ なるものをとれば、$\lambda'$ は $\lambda_1, \lambda_2$ の $\Lambda'$ での上界である。包含写像 $\varphi : \Lambda' \to \Lambda$ について、$\lambda_0 \in \Lambda$ に対し共終性から $\mu_0 \in \Lambda'$ で $\mu_0 \ge \lambda_0$ をとれば、$\mu \ge \mu_0$ なら $\varphi(\mu) = \mu \ge \mu_0 \ge \lambda_0$。よって の条件が満たされる。 ネット $(x_\lambda)$ が $x$ に収束するならば、その任意の部分ネットも $x$ に収束する。逆に、$(x_\lambda)$ の任意の部分ネットが $x$ に収束する部分ネットをさらにもつならば、$(x_\lambda)$ は $x$ に収束する。これらを示せ。 前半： の 3 により $\mathcal{T}(\boldsymbol{y}) \supseteq \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) \supseteq \mathcal{N}(x)$ なので、部分ネット $\boldsymbol{y}$ も $x$ に収束する（ の 1）。後半：$x_\lambda \not\to x$ と仮定する。$x$ の近傍 $U$ で、どの $\lambda_0$ に対しても $\lambda \ge \lambda_0$ かつ $x_\lambda \notin U$ なる $\lambda$ があるものが存在する。$\Lambda' := \{ \lambda : x_\lambda \notin U \}$ は共終なので、 により制限 $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda'}$ は部分ネットである。この部分ネットのどの部分ネットも、すべての項が $U$ の外にあるので、$x$ には収束できない。これは仮定に反する。 $a \in \mathbb{R}$ とし、$\mathcal{B} := \{ (a, a + \varepsilon) : \varepsilon > 0 \}$ はフィルター基であることを示せ。生成されるフィルター $\mathcal{F}$ が $a$ に収束することを示し、関数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の右極限 $\lim_{x \to a+} f(x) = L$ が $f_*\mathcal{F} \to L$ と同値であることを示せ。 $(a, a + \varepsilon) \cap (a, a + \varepsilon') = (a, a + \min(\varepsilon, \varepsilon'))$ で、各元は空でないので $\mathcal{B}$ はフィルター基。$a$ の近傍 $N$ は、ある $\delta > 0$ で $(a - \delta, a + \delta) \supseteq (a, a + \delta)$ を含む。$\mathcal{F}$ は $\mathcal{B}$ の元を含む集合全体なので $N \in \mathcal{F}$。よって $\mathcal{N}(a) \subseteq \mathcal{F}$、すなわち $\mathcal{F} \to a$。右極限：$\lim_{x \to a+} f(x) = L$ とは、任意の $\eta > 0$ に対して $\varepsilon > 0$ があり $x \in (a, a + \varepsilon) \Rightarrow |f(x) - L| < \eta$、すなわち $f^{-1}((L - \eta, L + \eta)) \supseteq (a, a + \varepsilon)$ ということで、$f^{-1}((L-\eta, L+\eta)) \in \mathcal{F}$、すなわち $(L - \eta, L + \eta) \in f_*\mathcal{F}$ と同値である。$L$ の近傍はどれも $(L - \eta, L + \eta)$ を含むので、これは $f_*\mathcal{F} \to L$ と同値。 ## 参考文献 - J. L. Kelley, *General Topology*, Van Nostrand, 1955 — Chapter 2（Moore–Smith 収束）。ネットと部分ネット、ネットとフィルターの対応の古典的な扱い。 - S. Willard, *General Topology*, Addison-Wesley, 1970 — ネットとフィルターを扱う章。部分ネットの定義（本稿の広い定義）と、集積点・フィルターの対応。 - R. Engelking, *General Topology*, Heldermann, 1989 — Chapter 1。収束・ネット・フィルターの扱い。 - N. Bourbaki, *Topologie générale*, Chap. I — フィルターによる収束の体系的な扱い。