ネットとフィルターの対応

$X$ を位相空間とする。

1. ネット $\boldsymbol{x} = (x_\lambda)$ と点 $x \in X$ について、$x_\lambda \to x$ であることと $\mathcal{T}(\boldsymbol{x}) \to x$ であることは同値である。また、$x$ が $\boldsymbol{x}$ の集積点であることと、$x$ が $\mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ の集積点であることは同値である。
2. フィルター $\mathcal{F}$ に付随するネットの尾のフィルターは $\mathcal{F}$ である：$\mathcal{T}(\boldsymbol{n}(\mathcal{F})) = \mathcal{F}$。したがって、$\mathcal{F} \to x$ であることと $\boldsymbol{n}(\mathcal{F}) \to x$ であることは同値で、$x$ が $\mathcal{F}$ の集積点であることと $\boldsymbol{n}(\mathcal{F})$ の集積点であることは同値である。
3. $(y_\mu)$ が $\boldsymbol{x}$ の部分ネットならば、$\mathcal{T}(\boldsymbol{y})$ は $\mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ の細分である。逆に、$\mathcal{T}(\boldsymbol{x})$ の任意の細分 $\mathcal{G}$ に対し、$\boldsymbol{x}$ の部分ネット $\boldsymbol{y}$ で $\mathcal{T}(\boldsymbol{y}) = \mathcal{G}$ となるものが存在する。