数学 › 位相空間論 › ネットとフィルターによる収束

ハウスドルフ性と極限の一意性

定理 6.1（「ネットとフィルターによる収束」§6）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を位相空間とする。

相異なる $x, y \in X$ について、次の 3 条件は同値である。(i) $x$ の任意の近傍 $U$ と $y$ の任意の近傍 $V$ について $U \cap V \ne \emptyset$ 。(ii) $x$ と $y$ の両方に収束するネットが存在する。(iii) $x$ と $y$ の両方に収束するフィルターが存在する。
次の 3 条件は同値である。(a) $X$ はハウスドルフである。(b) $X$ の任意のネットは高々 1 つの点に収束する。(c) $X$ 上の任意のフィルターは高々 1 つの点に収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ネットとフィルターの対応✓定理 4.3・ネットとフィルターによる収束
- 部分ネット定義 2.1・ネットとフィルターによる収束

これを使っている定理証明で参照している 2 件

補可算位相では点列の極限は一意だがネットの極限は一意でない✓命題 8.1・ネットとフィルターによる収束
一様連続写像の延長✓補題 5.3・一様空間

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