数学 › 位相空間論 › ネットとフィルターによる収束

補可算位相では点列の極限は一意だがネットの極限は一意でない

命題 8.1（「ネットとフィルターによる収束」§8）・ ✓公理まで証明済み

$(\mathbb{R}, \tau_{\mathrm{cc}})$ について、次が成り立つ。

空でない開集合 $U, V$ はつねに交わる。
点列 $(x_n)$ が $x$ に収束するならば、ある $N$ があって $n \ge N$ で $x_n = x$ となる。とくに点列の極限は（あれば）一意である。
相異なる任意の 2 点 $x, y$ に対し、 $x$ と $y$ の両方に収束するネットが存在する。とくに $(\mathbb{R}, \tau_{\mathrm{cc}})$ はハウスドルフでない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

実数全体は非可算（カントールの対角線論法）✓定理 6.3・濃度と無限
- 小数展開の存在と、桁を制限したときの一意性✓補題 6.1・濃度と無限
ハウスドルフ性と極限の一意性✓定理 6.1・ネットとフィルターによる収束
- ネットとフィルターの対応✓定理 4.3・ネットとフィルターによる収束
  - 部分ネット定義 2.1・ネットとフィルターによる収束

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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