冨田–竹崎の定理の証明：線形 Radon–Nikodym 補題と帯状領域の積分表示

0. この記事の要点

量子力学では、観測量の集まりと状態を 1 つ決めると、その状態から「時間の流れ」が自然に 1 つ決まります。前章ではこの主張を述べただけでしたが、この記事ではその理由を最初から最後まで書きます。道具は、方程式の解が存在することを「なければ矛盾する」という形で示す議論と、複素関数の積分の 2 つです。読み終えると、この時間の流れが観測量の集まりを保つ理由と、状態が時間の流れをただ 1 つに決める理由がわかります。

• 冨田–竹崎理論とモジュラー群 で主張だけを述べた 定理 4.1［冨田–竹崎理論とモジュラー群］（$J\mathfrak{M}J=\mathfrak{M}'$、$\Delta^{it}\mathfrak{M}\Delta^{-it}=\mathfrak{M}$）を、一般の von Neumann 環と巡回分離ベクトルについて完全に証明します。方針は van Daele (1974) と Rieffel–van Daele (1977) の証明を、非有界作用素 $S$, $\Delta$ の言葉で書き直したものです。
• 第 1 段は $S^*=\bar{F_0}$ です。$S^*$ の定義域のベクトル $\xi$ から $\mathfrak{M}'$ に付随する閉作用素を作り、その極分解とスペクトル射影で $\mathfrak{M}'$ の元を切り出して近似します。
• 第 2 段は線形 Radon–Nikodym 補題です。$x'\in\mathfrak{M}'$ と $\mathrm{Re}\,\lambda\gt0$ に対し、$\omega(yx')=\lambda\omega(ya)+\bar\lambda\omega(ay)$ を満たす $a\in\mathfrak{M}$ が存在し、そのベクトルは $a\Omega=(\lambda+\bar\lambda\Delta)^{-1}x'\Omega$ です。存在は Hahn–Banach の分離定理と単位球の弱コンパクト性から出ます。
• 第 3 段で作用素恒等式 $\Delta^{1/2}g\,Jx'J\,\Delta^{1/2}g=\lambda\,ga\Delta g+\bar\lambda\,\Delta g\,ag$（$g=(1+\Delta)^{-1}$）を示し、帯状領域 $|\mathrm{Re}\,z|\le1/2$ の Cauchy 積分で $a=\frac12\int e^{-\theta t}(\cosh\pi t)^{-1}\Delta^{-it}Jx'J\Delta^{it}\,dt$ と表します。$\theta$ を動かして Fourier 変換の単射性を使うと $\Delta^{-it}J\mathfrak{M}'J\Delta^{it}\subset\mathfrak{M}$ が出て、$\mathfrak{M}$ と $\mathfrak{M}'$ を入れ替えれば定理が閉じます。
• 最後に、竹崎の一意性定理（$\omega$ を逆温度 $-1$ の KMS 状態（熱平衡を表す状態）にする自己同型群はモジュラー群に限る）を、結合スペクトル測度（2 つの可換な自己共役作用素を同時にスペクトル分解する $\mathbb{R}^2$ 上の測度）と Gauss 関数による検定で証明します。

この記事で使う事前知識

• 巡回分離ベクトル: $\mathfrak{M}\Omega$ が全体で稠密（巡回）で、$x\Omega=0$ なら $x=0$（分離）となるベクトル $\Omega$。→ 冨田–竹崎理論とモジュラー群
• von Neumann 環と可換子: $\mathfrak{M}$ のすべての元と可換な作用素の全体が可換子 $\mathfrak{M}'$ で、可換子の可換子が元に戻る（$\mathfrak{M}''=\mathfrak{M}$）環。→ von Neumann 環
• 閉作用素: グラフが直積空間の閉集合になる作用素。→ 閉作用素
• 冨田作用素: $x\Omega\mapsto x^*\Omega$ で定まる反線形作用素。極分解がモジュラー共役 $J$ とモジュラー作用素 $\Delta$ を与えます。→ 冨田作用素
• 関数計算: 自己共役作用素 $A$ と関数 $f$ に対して、スペクトル測度を使って $f(A)$ を定めること。→ 関数計算
• 局所凸空間: 半ノルムの族で位相を定めた線形空間。§4 の分離定理で使います。→ 局所凸空間

1. 動機

前章 冨田–竹崎理論とモジュラー群 では、行列環 $M_n(\mathbb{C})$ と忠実な密度行列 $\rho$ について $\Delta\xi=\rho\xi\rho^{-1}$、$J\xi=\xi^*$ を具体的に求め、冨田–竹崎の定理を確かめました。一般の場合にこの計算はできません。$\Delta$ は非有界で、しかも $\Delta$ は $\mathfrak{M}$ の作用とは別の場所（$S$ の極分解）から来るので、$\Delta^{it}$ が $\mathfrak{M}$ を保つ理由が見えないのです。困難は、$S$ の幾何と $\mathfrak{M}$ の作用を結ぶ情報が乏しいことにあります。

実際、手持ちの情報は次の 2 つだけです。

1. $S$ は $\mathfrak{M}\Omega$ 上で $x\Omega\mapsto x^*\Omega$、$F_0$ は $\mathfrak{M}'\Omega$ 上で $x'\Omega\mapsto x'^*\Omega$ であり、両者は互いの共役に含まれる（補題 3.2［冨田–竹崎理論とモジュラー群］）。
2. $\mathfrak{M}$ の元はベクトル $x\Omega$ で決まる（$\Omega$ が分離的）。逆に、ベクトル $\xi$ が「$\mathfrak{M}$ の元から来る」かどうかは、$x'\Omega\mapsto x'\xi$ が有界かどうかで判定できる。

この記事の証明は、2 の判定を変分問題として解くところに要点があります。$x'\in\mathfrak{M}'$ を与えたとき、方程式 $\omega(yx')=\lambda\omega(ya)+\bar\lambda\omega(ay)$ の解 $a$ を $\mathfrak{M}$ の単位球の中で探し、Hahn–Banach の分離定理で存在を保証します（Sakai の線形 Radon–Nikodym 定理の証明法）。解のベクトルが $\Delta$ のレゾルベントで書けることから、$\mathfrak{M}$ の元 $a$ と $\Delta$ の関数、$Jx'J$ を結ぶ恒等式が得られ、あとは複素解析です。

段	内容	使う道具
§2	反線形閉作用素の極分解、環に付随する閉作用素	閉作用素の極分解、スペクトル定理の一意性
§3	$S^*=F$、$\mathfrak{M}'$ のモジュラー対象は $J$, $\Delta^{-1}$	§2
§4	線形 Radon–Nikodym 補題、$a\Omega=(\lambda+\bar\lambda\Delta)^{-1}x'\Omega$	分離定理、単位球の弱コンパクト性
§5	作用素恒等式	§4
§6	帯状領域の積分公式	留数定理、Morera の定理
§7	主定理	Fourier 変換の単射性、一致の定理、二重可換子定理
§8	竹崎の一意性定理	Liouville の定理、結合スペクトル測度

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