# 冨田–竹崎の定理の証明：線形 Radon–Nikodym 補題と帯状領域の積分表示 > 一般の von Neumann 環と巡回分離ベクトルについて JMJ=M′ と Δ^{it}MΔ^{-it}=M を省略なく証明する。S^*=F、Sakai 型の線形 Radon–Nikodym 補題、帯状領域の Cauchy 積分と Fourier 変換を経て、竹崎の一意性定理まで示す。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/operator-algebras/tomita-takesaki-proof ## 0. この記事の要点 量子力学では、観測量の集まりと状態を 1 つ決めると、その状態から「時間の流れ」が自然に 1 つ決まります。前章ではこの主張を述べただけでしたが、この記事ではその理由を最初から最後まで書きます。道具は、方程式の解が存在することを「なければ矛盾する」という形で示す議論と、複素関数の積分の 2 つです。読み終えると、この時間の流れが観測量の集まりを保つ理由と、状態が時間の流れをただ 1 つに決める理由がわかります。 - [冨田–竹崎理論とモジュラー群](/mathematics/operator-algebras/tomita-takesaki) で主張だけを述べた （$J\mathfrak{M}J=\mathfrak{M}'$、$\Delta^{it}\mathfrak{M}\Delta^{-it}=\mathfrak{M}$）を、一般の [von Neumann 環](/mathematics/operator-algebras/von-neumann-algebras#def-von-neumann-algebra)と巡回分離ベクトルについて完全に証明します。方針は van Daele (1974) と Rieffel–van Daele (1977) の証明を、非有界作用素 $S$, $\Delta$ の言葉で書き直したものです。 - 第 1 段は $S^*=\bar{F_0}$ です。$S^*$ の定義域のベクトル $\xi$ から $\mathfrak{M}'$ に付随する[閉作用素](/mathematics/functional-analysis/unbounded-operators#def-closed-operator)を作り、その極分解とスペクトル射影で $\mathfrak{M}'$ の元を切り出して近似します。 - 第 2 段は**線形 Radon–Nikodym 補題**です。$x'\in\mathfrak{M}'$ と $\mathrm{Re}\,\lambda\gt0$ に対し、$\omega(yx')=\lambda\omega(ya)+\bar\lambda\omega(ay)$ を満たす $a\in\mathfrak{M}$ が存在し、そのベクトルは $a\Omega=(\lambda+\bar\lambda\Delta)^{-1}x'\Omega$ です。存在は Hahn–Banach の分離定理と単位球の弱コンパクト性から出ます。 - 第 3 段で作用素恒等式 $\Delta^{1/2}g\,Jx'J\,\Delta^{1/2}g=\lambda\,ga\Delta g+\bar\lambda\,\Delta g\,ag$（$g=(1+\Delta)^{-1}$）を示し、帯状領域 $|\mathrm{Re}\,z|\le1/2$ の Cauchy 積分で $a=\frac12\int e^{-\theta t}(\cosh\pi t)^{-1}\Delta^{-it}Jx'J\Delta^{it}\,dt$ と表します。$\theta$ を動かして [Fourier 変換](/mathematics/fourier-analysis/fourier-transform#def-fourier-transform)の単射性を使うと $\Delta^{-it}J\mathfrak{M}'J\Delta^{it}\subset\mathfrak{M}$ が出て、$\mathfrak{M}$ と $\mathfrak{M}'$ を入れ替えれば定理が閉じます。 - 最後に、竹崎の一意性定理（$\omega$ を逆温度 $-1$ の [KMS 状態](/mathematics/operator-algebras/kms-states#def-kms-state)（熱平衡を表す状態）にする自己同型群はモジュラー群に限る）を、結合スペクトル測度（2 つの可換な自己共役作用素を同時にスペクトル分解する $\mathbb{R}^2$ 上の測度）と Gauss 関数による検定で証明します。 ## 1. 動機 前章 [冨田–竹崎理論とモジュラー群](/mathematics/operator-algebras/tomita-takesaki) では、行列環 $M_n(\mathbb{C})$ と忠実な密度行列 $\rho$ について $\Delta\xi=\rho\xi\rho^{-1}$、$J\xi=\xi^*$ を具体的に求め、冨田–竹崎の定理を確かめました。一般の場合にこの計算はできません。$\Delta$ は非有界で、しかも $\Delta$ は $\mathfrak{M}$ の作用とは別の場所（$S$ の極分解）から来るので、$\Delta^{it}$ が $\mathfrak{M}$ を保つ理由が見えないのです。困難は、$S$ の幾何と $\mathfrak{M}$ の作用を結ぶ情報が乏しいことにあります。 実際、手持ちの情報は次の 2 つだけです。 1. $S$ は $\mathfrak{M}\Omega$ 上で $x\Omega\mapsto x^*\Omega$、$F_0$ は $\mathfrak{M}'\Omega$ 上で $x'\Omega\mapsto x'^*\Omega$ であり、両者は互いの共役に含まれる（）。 2. $\mathfrak{M}$ の元はベクトル $x\Omega$ で決まる（$\Omega$ が分離的）。逆に、ベクトル $\xi$ が「$\mathfrak{M}$ の元から来る」かどうかは、$x'\Omega\mapsto x'\xi$ が有界かどうかで判定できる。 この記事の証明は、2 の判定を**変分問題**として解くところに要点があります。$x'\in\mathfrak{M}'$ を与えたとき、方程式 $\omega(yx')=\lambda\omega(ya)+\bar\lambda\omega(ay)$ の解 $a$ を $\mathfrak{M}$ の単位球の中で探し、Hahn–Banach の分離定理で存在を保証します（Sakai の線形 Radon–Nikodym 定理の証明法）。解のベクトルが $\Delta$ のレゾルベントで書けることから、$\mathfrak{M}$ の元 $a$ と $\Delta$ の関数、$Jx'J$ を結ぶ恒等式が得られ、あとは複素解析です。 | 段 | 内容 | 使う道具 | |---|---|---| | §2 | 反線形閉作用素の極分解、環に付随する閉作用素 | 閉作用素の極分解、スペクトル定理の一意性 | | §3 | $S^*=F$、$\mathfrak{M}'$ のモジュラー対象は $J$, $\Delta^{-1}$ | §2 | | §4 | 線形 Radon–Nikodym 補題、$a\Omega=(\lambda+\bar\lambda\Delta)^{-1}x'\Omega$ | 分離定理、単位球の弱コンパクト性 | | §5 | 作用素恒等式 | §4 | | §6 | 帯状領域の積分公式 | 留数定理、Morera の定理 | | §7 | 主定理 | Fourier 変換の単射性、一致の定理、二重可換子定理 | | §8 | 竹崎の一意性定理 | Liouville の定理、結合スペクトル測度 | （この章の続きは購入者向けです。）