線形応答と量子統計の変分不等式：Kubo 公式・Bogoliubov 不等式・Golden–Thompson

0. この記事の要点

熱平衡にある物体に弱い磁場や電場をかけると、物体は少しだけ反応します。その反応の大きさが、かける前の平衡状態の性質だけで書き表せる、というのがこの記事の中心です。読み終えると、反応を表す公式（Kubo 公式）とその誤差の見積もり、そして統計力学でよく使われる 3 つの不等式を、有限次元の範囲で最初から証明できるようになります。以下の箇条書きの用語は、本文で順に定義します。

• 有限次元の Gibbs 状態 $\omega(X)=\mathrm{tr}(e^{-\beta H}X)/Z$ に対し、Duhamel 2 点関数 $(A,B)=Z^{-1}\int_0^1\mathrm{tr}(e^{-s\beta H}A^*e^{-(1-s)\beta H}B)\,ds$ は正定値な内積で、エネルギー固有基底では行列要素に重み「対数平均 $L(p_m,p_n)$」を掛けた形になります。$\beta(A,[H,C])=\omega([A^*,C])$ という恒等式が、以下のすべての不等式の源です。
• Kubo 公式：外場 $f(t)B$ を加えたときの観測量 $A$ の変化は、1 次で $\int\varphi_{AB}(t-s)f(s)\,ds$、応答関数は $\varphi_{AB}(t)=i\,\omega([\tau_t(A),B])$ です。剰余は $2\|A\|\|B\|^2(\int|f|)^2$ で抑えられます。
• 応答関数は Duhamel 2 点関数の時間微分 $\varphi_{AB}(t)=-\beta\frac{d}{dt}(B,\tau_t(A))$ です（Kubo の恒等式）。これから静的感受率（等温）$\chi^{\mathrm T}$ と時間積分で得る孤立感受率 $\chi^{\mathrm K}$ が計算でき、$A=B$ では $0\le\chi^{\mathrm K}\le\chi^{\mathrm T}$ が成り立ちます。
• Bogoliubov 不等式 $|\omega([A^*,C])|^2\le\frac\beta2\,\omega(A^*A+AA^*)\,\omega([C^*,[H,C]])$ は Duhamel 内積の Cauchy–Schwarz の不等式で、Mermin–Wagner の定理（2 次元の Heisenberg 模型では連続対称性が有限温度で自発的に破れない、という定理）の出発点です。
• Golden–Thompson 不等式 $\mathrm{tr}\,e^{A+B}\le\mathrm{tr}(e^Ae^B)$ と Peierls–Bogoliubov 不等式 $\log\mathrm{tr}\,e^{H+K}\ge\log\mathrm{tr}\,e^H+\langle K\rangle_H$ を証明し、自由エネルギーの上下からの評価を与えます。

この記事で使う事前知識

• KMS 状態: 有限次元では Gibbs 状態がその例になる、熱平衡を表す状態。→ KMS 状態
• 行列の指数関数: 行列 $X$ に対して級数で $e^X$ を定める操作。$e^{-\beta H}$ や $e^{itH}$ がこれです。→ 行列の指数関数
• 自己共役・ユニタリ: 随伴をとっても変わらない作用素、逆が随伴に等しい作用素のこと。観測量やハミルトニアンは前者、時間発展は後者です。→ 自己共役・ユニタリ
• 直交射影: 内積空間の部分空間へ、最も近い点を対応させる写像。→ 直交射影
• Hilbert 空間: 内積をもち、極限をとっても閉じている空間。ここでは有限次元のものだけを扱います。→ Hilbert 空間

1. 動機

熱平衡にある系に弱い外場を加え、観測量の期待値がどう変わるかを外場の 1 次で計算するのが線形応答理論です。Kubo（1957 年）は、応答が「平衡状態での 2 つの観測量の交換子の相関」で書けることを示しました。電気伝導度・磁化率・誘電率などの輸送係数や感受率は、すべてこの形の公式から出発します。重要なのは、右辺が平衡状態だけで決まる量だということです。非平衡の問題が、平衡状態の相関関数の計算に帰着します。

線形応答の公式に現れる平衡相関関数は、Gibbs 状態の KMS 条件（KMS 状態と熱平衡）を反映して特別な構造を持ちます。その構造を最もよく表すのが Duhamel 2 点関数（Kubo の正準相関）で、これは観測量の空間の上の内積になります。内積なら Cauchy–Schwarz の不等式が使え、これが Bogoliubov 不等式です。Mermin と Wagner（1966 年）は、この不等式を 2 次元の Heisenberg 模型に適用して、連続対称性が有限温度で自発的に破れないことを証明しました。

もう 1 つの柱は、分配関数 $\mathrm{tr}\,e^{-\beta H}$ の評価です。ハミルトニアンが 2 つの非可換な部分の和 $H_0+V$ のとき、$e^{-\beta(H_0+V)}$ は $e^{-\beta H_0}e^{-\beta V}$ と一致しません。Golden–Thompson 不等式はそれでもトレースについては上からの評価が成り立つことを、Peierls–Bogoliubov 不等式は下からの評価を与えます。これらは変分法による自由エネルギーの評価（平均場近似の正当化など）の基本道具です。

本章はすべて有限次元で証明します。無限系への拡張は KMS 状態と Liouvillean の言葉で行われ、その筋道を §7 で述べます。

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