# 線形応答と量子統計の変分不等式：Kubo 公式・Bogoliubov 不等式・Golden–Thompson > Gibbs 状態の Duhamel 2 点関数を内積として整え、Kubo の線形応答公式と剰余評価、静的感受率と緩和関数、等温感受率と孤立感受率の大小を証明する。Bogoliubov 不等式、Golden–Thompson 不等式、Peierls–Bogoliubov 不等式も証明する。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/operator-algebras/linear-response-kubo ## 0. この記事の要点 熱平衡にある物体に弱い磁場や電場をかけると、物体は少しだけ反応します。その反応の大きさが、かける前の平衡状態の性質だけで書き表せる、というのがこの記事の中心です。読み終えると、反応を表す公式（Kubo 公式）とその誤差の見積もり、そして統計力学でよく使われる 3 つの不等式を、有限次元の範囲で最初から証明できるようになります。以下の箇条書きの用語は、本文で順に定義します。 - 有限次元の Gibbs 状態 $\omega(X)=\mathrm{tr}(e^{-\beta H}X)/Z$ に対し、**Duhamel 2 点関数** $(A,B)=Z^{-1}\int_0^1\mathrm{tr}(e^{-s\beta H}A^*e^{-(1-s)\beta H}B)\,ds$ は正定値な内積で、エネルギー固有基底では行列要素に重み「対数平均 $L(p_m,p_n)$」を掛けた形になります。$\beta(A,[H,C])=\omega([A^*,C])$ という恒等式が、以下のすべての不等式の源です。 - **Kubo 公式**：外場 $f(t)B$ を加えたときの観測量 $A$ の変化は、1 次で $\int\varphi_{AB}(t-s)f(s)\,ds$、応答関数は $\varphi_{AB}(t)=i\,\omega([\tau_t(A),B])$ です。剰余は $2\|A\|\|B\|^2(\int|f|)^2$ で抑えられます。 - 応答関数は Duhamel 2 点関数の時間微分 $\varphi_{AB}(t)=-\beta\frac{d}{dt}(B,\tau_t(A))$ です（Kubo の恒等式）。これから**静的感受率**（等温）$\chi^{\mathrm T}$ と時間積分で得る**孤立感受率** $\chi^{\mathrm K}$ が計算でき、$A=B$ では $0\le\chi^{\mathrm K}\le\chi^{\mathrm T}$ が成り立ちます。 - **Bogoliubov 不等式** $|\omega([A^*,C])|^2\le\frac\beta2\,\omega(A^*A+AA^*)\,\omega([C^*,[H,C]])$ は Duhamel 内積の Cauchy–Schwarz の不等式で、Mermin–Wagner の定理（2 次元の Heisenberg 模型では連続対称性が有限温度で自発的に破れない、という定理）の出発点です。 - **Golden–Thompson 不等式** $\mathrm{tr}\,e^{A+B}\le\mathrm{tr}(e^Ae^B)$ と **Peierls–Bogoliubov 不等式** $\log\mathrm{tr}\,e^{H+K}\ge\log\mathrm{tr}\,e^H+\langle K\rangle_H$ を証明し、自由エネルギーの上下からの評価を与えます。 ## 1. 動機 熱平衡にある系に弱い外場を加え、観測量の期待値がどう変わるかを外場の 1 次で計算するのが線形応答理論です。Kubo（1957 年）は、応答が「平衡状態での 2 つの観測量の交換子の相関」で書けることを示しました。電気伝導度・磁化率・誘電率などの輸送係数や感受率は、すべてこの形の公式から出発します。重要なのは、右辺が**平衡状態だけで決まる量**だということです。非平衡の問題が、平衡状態の相関関数の計算に帰着します。 線形応答の公式に現れる平衡相関関数は、Gibbs 状態の KMS 条件（[KMS 状態と熱平衡](/mathematics/operator-algebras/kms-states)）を反映して特別な構造を持ちます。その構造を最もよく表すのが Duhamel 2 点関数（Kubo の正準相関）で、これは観測量の空間の上の内積になります。内積なら Cauchy–Schwarz の不等式が使え、これが Bogoliubov 不等式です。Mermin と Wagner（1966 年）は、この不等式を 2 次元の Heisenberg 模型に適用して、連続対称性が有限温度で自発的に破れないことを証明しました。 もう 1 つの柱は、分配関数 $\mathrm{tr}\,e^{-\beta H}$ の評価です。ハミルトニアンが 2 つの非可換な部分の和 $H_0+V$ のとき、$e^{-\beta(H_0+V)}$ は $e^{-\beta H_0}e^{-\beta V}$ と一致しません。Golden–Thompson 不等式はそれでもトレースについては上からの評価が成り立つことを、Peierls–Bogoliubov 不等式は下からの評価を与えます。これらは変分法による自由エネルギーの評価（平均場近似の正当化など）の基本道具です。 本章はすべて有限次元で証明します。無限系への拡張は KMS 状態と Liouvillean の言葉で行われ、その筋道を §7 で述べます。 （この章の続きは購入者向けです。）