量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態

数学作用素環と量子統計力学第9章博士・研究有料「本」の章約 67 分2026-10-03

対象読者: 本テーマ第 1〜8 章の内容（von Neumann 環、KMS 状態、表現の準同値まで）と、スピンのテンソル積・ハミルトニアンなどの量子力学を学んだ人。格子上の無限系は仮定しません。

前提となる記事:表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件

0. この記事の要点

磁石の中では、非常に多くの小さな磁石（スピン）が並び、隣どうしが影響し合っています。この章は、その数を「無限個」と思ってよい極限で、時間とともに状態がどう変わるか、いちばんエネルギーの低い状態や熱平衡の状態はどう表せるかを、数学として正確に扱う方法を述べます。有限個なら行列の計算で済みますが、無限個では「全体のハミルトニアン」が意味を失うので、その代わりに何を使えばよいかが出発点の疑問です。読み終えると、無限に広がるスピン系の時間発展が確かに定まること、基底状態や熱平衡状態を無限系のまま定義し調べられることが分かります。以下の要点には専門用語が並びますが、各項目の後ろの括弧や本文の定義で順に説明します。

格子 $\mathbb{Z}^\nu$ の各点に $M_N(\mathbb{C})$ を置き、有限領域 $\Lambda$ の代数 $\mathfrak{A}_\Lambda=\bigotimes_{x\in\Lambda}M_N(\mathbb{C})$ の和集合をノルム完備化したものが準局所代数 $\mathfrak{A}$ です。これは $N^\infty$ 型の UHF 環（同じ大きさの行列環を無限回テンソル積したものの完備化）で、単純であり、跡状態（ $\varphi(AB)=\varphi(BA)$ を満たす状態）はただ 1 つです。
系は相互作用 $\Phi$ （有限集合 $X$ に自己共役な $\Phi(X)\in\mathfrak{A}_X$ を対応させる写像）で指定され、局所ハミルトニアンは $H_\Lambda=\sum_{X\subset\Lambda}\Phi(X)$ です。 $N_\lambda(\Phi)=\sup_x\sum_{X\ni x}e^{\lambda|X|}\|\Phi(X)\|<\infty$ （有限レンジの並進不変な相互作用はこれを満たす）なら、 $\tau^\Lambda_t(A)=e^{itH_\Lambda}Ae^{-itH_\Lambda}$ は $\Lambda\uparrow\mathbb{Z}^\nu$ でノルム収束し、強連続な $*$ -自己同型群 $\tau_t$ を定めます。
証明の核心は、入れ子の交換子 $\delta_\Lambda^k(A)$ を「台を広げていく集合の鎖」で展開し、 $\|\delta_\Lambda^k(A)\|\le k!(2N_\lambda/\lambda)^ke^{\lambda|S|}\|A\|$ と体積によらず評価することです。全対結合の相互作用ではこの評価が壊れ、極限の時間発展は存在しません。
無限体積の基底状態は $-i\omega(A^*\delta(A))\ge0$ で定義され、有限レンジなら局所的な不等式 $\omega(A^*[H_\Lambda,A])\ge0$ で判定できます。有限体積の基底状態の極限として存在し、各項を同時に最小化する（frustration-free な）状態は基底状態です。
並進不変な状態には平均エネルギー $e_\Phi(\omega)=\omega(A_\Phi)$ と平均エントロピー $s(\omega)$ が定まり、圧力は変分原理 $P(\beta\Phi)=\sup_\omega(s(\omega)-\beta e_\Phi(\omega))$ を満たします。この変分原理は、エントロピーの劣加法性と凹性だけから証明できます。最大値を達成する状態は並進不変な KMS 状態（熱平衡を表す状態）にほかならないことも知られています（Lanford–Robinson・荒木。本章では証明の筋道だけを述べます）。
例: Heisenberg 強磁性体は互いに素な基底状態を無限個持ち（前章の積状態の判定）、AKLT 模型は frustration-free、横磁場 Ising 模型は Jordan–Wigner 変換で自由フェルミオンに写り、 $h=J$ で量子相転移を起こします。

1. 動機

結晶中の磁性イオンのスピンは、格子点に固定された有限準位の量子系とみなせます。 $1$ 辺 $L$ の箱の中なら状態空間は $(\mathbb{C}^N)^{\otimes L^\nu}$ という有限次元空間で、ハミルトニアンは行列にすぎません。しかし、相転移や対称性の自発的破れ、熱平衡への緩和といった現象は、 $L\to\infty$ の極限でしか鋭く定義できません。有限の行列では、Gibbs 状態は温度について解析的で、対称性を持つハミルトニアンの Gibbs 状態は対称です。そのため、相転移を記述するには無限系そのものを扱う枠組みが必要です。

ところが無限系には、状態空間として使える「1 つの Hilbert 空間」がありません。前章表現の準同値と準自由状態の判定で見たとおり、全スピンを上向きにした状態と少し傾けた状態は、互いに素な表現を生成します。どちらか一方の Hilbert 空間を選ぶと、もう一方は密度行列として表せません。そこで、Hilbert 空間を選ぶ前の「観測量の代数」を基本に置き、状態をその上の線形汎関数として扱います。観測量の代数は、有限領域の観測量の全体を完備化した $C^*$ 環 $\mathfrak{A}$ で、どの相の状態も $\mathfrak{A}$ 上の状態として同じ土俵に乗ります。

この枠組みで最初に確かめるべきことは、時間発展が $\mathfrak{A}$ の上で定義できるかどうかです。無限系のハミルトニアン $\sum_X\Phi(X)$ は $\mathfrak{A}$ の元として収束しないので（エネルギーは示量的で、体積に比例して発散します）、 $e^{itH}Ae^{-itH}$ はそのままでは意味を持ちません。しかし $A$ が局所的なら、 $A$ と交換しない項は $A$ の近くにしかないので、Heisenberg 描像の時間発展 $\tau_t(A)$ には意味がありそうです。これを正当化するのが §4 の定理で、Robinson（1968 年）による級数展開の方法を述べます。より強い Lieb–Robinson 評価による方法は次章 Lieb–Robinson 評価で扱います。時間発展が定まれば、基底状態と熱平衡状態（KMS 状態）を無限体積の対象として定義でき（§5）、並進不変な状態については熱力学の変分原理が作用素環の言葉で述べられます（§6）。