# 代数体の整数環と Dedekind 整域：イデアルで素因数分解を取り戻す

> 代数体の整数環が階数 n の自由 Z 加群で Dedekind 整域であることを示し、イデアルの素イデアル分解の一意性、Σe_i f_i = n、分岐と判別式、Kummer–Dedekind の判定法を証明して二次体に適用する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains

## 0. この記事の要点

整数は素数の積に、ただ一通りに分解できます。ところが、$\sqrt{-5}$ のような数を整数に付け加えて数の世界を広げると、この「一通り」が崩れることがあります。この記事では、数ではなく「数の集まり」（イデアル）を分解することで一意性を取り戻せることを示し、そのうえで、ふつうの素数が広げた世界でどう分解するかを調べます。読み終えると、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ や $\mathbb{Z}[i]$ のような二次体で、素数がどう分解するかを計算できるようになります。

- 代数体 $K$ の**整数環** $\mathcal{O}_K$（$\mathbb{Z}$ 係数モニック多項式の根になる $K$ の元の全体）は環で、$\mathbb{Q} \cap \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}$、かつ $K$ の中で整閉です（<Ref to="thm-ring-of-integers" />）。
- トレースの作る双線形形式が非退化であることから、$\mathcal{O}_K$ は階数 $n = [K:\mathbb{Q}]$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群で、判別式 $d_K$ は $0$ でない整数です（<Ref to="thm-integral-basis" />）。
- $\mathcal{O}_K$ は **Dedekind 整域**（[ネーター](/mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#def-noetherian)・整閉・$0$ でない素イデアルは極大。整閉の意味は定義 <Ref to="def-algebraic-integer" /> の末尾にあります）であり（<Ref to="thm-ok-dedekind" />）、Dedekind 整域では $0$ でないイデアルが素イデアルの積に一意に分解します（<Ref to="thm-ideal-factorization" />）。分数イデアルは群をなします（<Ref to="thm-fractional-group" />）。
- 素数 $p$ が $p\mathcal{O}_K = \prod \mathfrak{P}_i^{e_i}$ と分解するとき $\sum e_i f_i = n$、ガロア拡大なら $efg = n$ です（<Ref to="thm-sum-ef" />、<Ref to="thm-efg" />）。$p$ が分岐することと $p \mid d_K$ は同値です（<Ref to="thm-ramified-divides" />、<Ref to="thm-discriminant-ramified" />）。
- **Kummer–Dedekind の判定法**（<Ref to="thm-kummer-dedekind" />）は、分解を $\mathbb{F}_p[x]$ での多項式の因数分解に帰着させます。二次体ではこれで分解が完全に決まります。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **ネーター環**: イデアルがすべて有限個の元で生成される環のこと。→ [ネーター環](/mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#def-noetherian)
- **加群**: 環の元をスカラーとして掛けられるアーベル群のこと（$\mathbb{Z}$ 加群はアーベル群そのもの）。→ [加群](/mathematics/algebra/modules-over-pid#def-module)
- **最小多項式**: 体の拡大で、ある元を根に持つ $\mathbb{Q}$ 係数のモニック多項式のうち、次数が最小のもの。→ [最小多項式](/mathematics/algebra/galois-theory#def-extension)
- **ガロア拡大**: 自己同型の数が拡大次数と一致する、対称性のよい体の拡大のこと。→ [ガロア拡大](/mathematics/algebra/galois-theory#def-galois)
- **行列式**: 正方行列に定まる数で、$0$ でないことが逆行列を持つことと同値になる。→ [行列式](/mathematics/linear-algebra/determinants#def-determinant)

</Aside>

## 1. 動機

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = \{a + b\sqrt{-5} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}$ では
$$
6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})
$$
と、$6$ が本質的に異なる 2 通りに分解します（4 つの因子がどれもそれ以上分解しないことは <Ref to="ex-sqrt-minus5" /> で確かめます）。[整除と素因数分解](/mathematics/number-theory/elementary-number-theory) で見た素因数分解の一意性は、整数を少し広げただけで壊れてしまいます。これは 19 世紀に Fermat の最終定理への取り組みの中で見つかった現象で、Kummer は「理想数」を導入してこれを救い、Dedekind がそれを**イデアル**として定式化しました。

本記事の主張は、元ではなくイデアルを分解すれば一意性が戻る、というものです（上の例の 2 通りの分解は、同じイデアル分解 $\mathfrak{p}^2\mathfrak{q}\mathfrak{q}'$ の異なるまとめ方になります）。そのために必要な環の性質（Dedekind 整域）を抽出し、整数環がそれを満たすことを示すのが前半、素数 $p$ が $\mathcal{O}_K$ でどう分解するかを調べるのが後半です。

**既出の章から使うもの。** 環・イデアル・剰余環（[イデアルと剰余環](/mathematics/algebra/ideals-and-quotient-rings)）、有限生成アーベル群と PID 上の加群（[PID 上の加群](/mathematics/algebra/modules-over-pid)）、体の拡大とガロア理論（[ガロア理論への招待](/mathematics/algebra/galois-theory)）、行列式です。本記事を通して、**代数体**とは $\mathbb{C}$ の部分体 $K$ で $n = [K:\mathbb{Q}]$ が有限のものとします。

## 2. 整数環

<Definition id="def-algebraic-integer" title="代数的整数と整数環">
複素数 $\alpha$ が $\mathbb{Z}$ 係数のモニック多項式の根であるとき、$\alpha$ を**代数的整数**という。代数的整数の全体を $\overline{\mathbb{Z}}$、代数体 $K$ について $\mathcal{O}_K := K \cap \overline{\mathbb{Z}}$ を $K$ の**整数環**と書く。一般に整域 $A$ がその商体 $F$ の中で**整閉**であるとは、$A$ 係数のモニック多項式の根になる $F$ の元が $A$ に属することをいう。
</Definition>

<Lemma id="lem-module-criterion" title="加群による整性の判定">
$\gamma \in \mathbb{C}$ とし、$\mathbb{C}$ の $0$ でない有限生成な加法部分群 $M$ で $\gamma M \subseteq M$ を満たすものがあるとする。このとき $\gamma$ は代数的整数である。
</Lemma>

<Proof of="lem-module-criterion">
$M$ は有限生成アーベル群で、$\mathbb{C}$ の中にあるので位数有限の元は $0$ だけです。<Ref to="mathematics/algebra/modules-over-pid#cor-fg-abelian" /> により $M \cong \mathbb{Z}^k$（$k \ge 1$）で、基底 $m_1, \ldots, m_k$ が取れます。$\gamma m_i = \sum_j c_{ij} m_j$（$c_{ij} \in \mathbb{Z}$）と書き $C = (c_{ij})$ とおくと、$\boldsymbol{m} = (m_1, \ldots, m_k)^{\mathsf{T}} \neq 0$ について $(\gamma I - C)\boldsymbol{m} = 0$ です。<Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#thm-regular" /> により $\det(\gamma I - C) = 0$。ライプニッツの公式で展開すると、$\det(xI - C)$ は恒等置換の項 $\prod_i (x - c_{ii})$ だけが $x^k$ を含むので、$\mathbb{Z}$ 係数の $k$ 次モニック多項式です。よって $\gamma$ は代数的整数です。
</Proof>

<Theorem id="thm-ring-of-integers" title="整数環の基本性質">
$K$ を代数体とする。

1. $\overline{\mathbb{Z}}$ は $\mathbb{C}$ の部分環であり、$\mathcal{O}_K$ は $K$ の部分環である。
2. 任意の $\alpha \in K$ に対し、$d\alpha \in \mathcal{O}_K$ となる正の整数 $d$ がある。特に $\mathcal{O}_K$ の商体は $K$ である。
3. $\mathcal{O}_K \cap \mathbb{Q} = \mathbb{Z}$。
4. $\mathcal{O}_K$ は $K$ の中で整閉である。
</Theorem>

<Proof of="thm-ring-of-integers">
1. $\alpha, \beta \in \overline{\mathbb{Z}}$ がそれぞれ $a$ 次、$b$ 次の $\mathbb{Z}$ 係数モニック多項式の根だとします。$M = \sum_{0 \le i \lt a,\, 0 \le j \lt b} \mathbb{Z}\,\alpha^i\beta^j$ は有限生成で $1$ を含みます。$\alpha^a$ は $1, \alpha, \ldots, \alpha^{a-1}$ の整数係数一次結合なので $\alpha M \subseteq M$、同様に $\beta M \subseteq M$ で、したがって $(\alpha \pm \beta)M \subseteq M$、$\alpha\beta M \subseteq M$ です。<Ref to="lem-module-criterion" /> から $\alpha \pm \beta$、$\alpha\beta$ は代数的整数です。$\mathcal{O}_K$ は二つの部分環の共通部分なので部分環です。
2. $\alpha$ は $\mathbb{Q}$ 上代数的なので、分母を払って $a_m\alpha^m + a_{m-1}\alpha^{m-1} + \cdots + a_0 = 0$（$a_i \in \mathbb{Z}$、$a_m \geq 1$）と書けます。両辺に $a_m^{m-1}$ を掛けると、$a_m\alpha$ は $x^m + a_{m-1}x^{m-1} + a_m a_{m-2}x^{m-2} + \cdots + a_m^{m-1}a_0$ の根です。$d = a_m$ とすればよく、$\alpha = (d\alpha)/d$ なので商体は $K$ です。
3. 既約分数 $u/v$（$v \ge 1$）が $x^m + c_{m-1}x^{m-1} + \cdots + c_0$（$c_i \in \mathbb{Z}$）の根なら、$v^m$ を掛けて $u^m = -v(c_{m-1}u^{m-1} + \cdots + c_0v^{m-1})$。$v$ の素因数 $p$ は $u^m$ を割り、[ユークリッドの補題](/mathematics/number-theory/elementary-number-theory) <Ref to="mathematics/number-theory/elementary-number-theory#lem-euclid-general" /> から $u$ も割って既約性に反します。よって $v = 1$ です。
4. $\alpha \in K$ が $x^m + a_{m-1}x^{m-1} + \cdots + a_0$（$a_i \in \mathcal{O}_K$）の根だとします。各 $a_i$ が $k_i$ 次の整数係数モニック多項式の根であるとき、$a_0^{j_0}\cdots a_{m-1}^{j_{m-1}}\alpha^j$（$0 \le j_i \lt k_i$、$0 \le j \lt m$）が生成する $M$ は有限生成で、1 と同じ理由で $\alpha M \subseteq M$ です。<Ref to="lem-module-criterion" /> より $\alpha \in \overline{\mathbb{Z}} \cap K = \mathcal{O}_K$。
</Proof>

<Proposition id="prop-min-poly-integral" title="代数的整数の最小多項式">
$\alpha \in \overline{\mathbb{Z}}$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式 $g$ は $\mathbb{Z}$ 係数であり、$g$ の複素根はすべて代数的整数である。逆に、$\mathbb{Q}$ 上の最小多項式が $\mathbb{Z}$ 係数である複素数は代数的整数である。
</Proposition>

<Proof of="prop-min-poly-integral">
$\alpha$ を根に持つ $\mathbb{Z}$ 係数モニック多項式 $h$ は、代入の核に属するので $g$ で割り切れます（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#prop-simple-extension" />）。よって $g$ の根は $h$ の根で、代数的整数です。$g$ の係数は根の基本対称式の $\pm 1$ 倍なので、<Ref to="thm-ring-of-integers" /> の 1 から $\overline{\mathbb{Z}} \cap \mathbb{Q}$ に属し、同じ定理の 3（$K = \mathbb{Q}$ の場合）により整数です。逆は定義そのものです。
</Proof>

## 3. トレース・ノルム・判別式

この節の目標は、$\mathcal{O}_K$ が $\mathbb{Z}^n$ と同じ形の加群であること（整基底の存在）を示すことです。そのために、$K$ の元を複素数へ写す体の準同型（**埋め込み**）をすべて集め、その値の和（トレース）と積（ノルム）から判別式という数を作ります。判別式が $0$ でないことが、整基底を取り出す鍵になります。

<Lemma id="lem-embeddings" title="埋め込みの個数">
$K$ を次数 $n$ の代数体とする。体の準同型 $K \to \mathbb{C}$（**埋め込み**）はちょうど $n$ 個ある。さらに $\alpha \in K$ の最小多項式 $g$ の次数を $d$ とすると、$n$ 個の埋め込み $\sigma$ について値 $\sigma(\alpha)$ を重複込みで並べたものは、$g$ の $d$ 個の相異なる根をそれぞれ $n/d$ 回ずつ並べたものに一致する。
</Lemma>

<Proof of="lem-embeddings">
$K = \mathbb{Q}(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)$ と書き、$f$ を $\alpha_i$ たちの最小多項式の積、$L \subseteq \mathbb{C}$ を $f$ の根全体で $\mathbb{Q}$ 上生成される体とします。$L$ は $f$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体で、$K \subseteq L$ なので $K$ 上の最小分解体でもあります。埋め込み $\tau: K \to \mathbb{C}$ は $\alpha_i$ を $f$ の根に送るので $\tau(K) \subseteq L$ で、$L$ は $\tau(K)$ 上の $f$ の最小分解体です。<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#lem-extension-count" /> を $\tau : K \to \tau(K)$ に適用すると、各 $\tau$ は $L \to L$ にちょうど $[L:K]$ 通りに延長されます。また $\mathrm{id}_{\mathbb{Q}}$ を延長する $L \to L$ はちょうど $[L:\mathbb{Q}]$ 個で、それぞれ $K$ への制限によって一つの $\tau$ に属します。したがって $\tau$ の個数は $[L:\mathbb{Q}]/[L:K] = [K:\mathbb{Q}] = n$ です（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#prop-tower" />）。

同じ数え方を $\mathbb{Q}(\alpha)$ に使うと、その埋め込みは $d$ 個です。埋め込みは $\alpha$ の行き先（$g$ の根）で決まり、$g$ は標数 $0$ の既約多項式なので根は相異なる（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#prop-separable-criterion" />）ので、各根にちょうど一つずつ対応します。さらに、$\mathbb{Q}(\alpha)$ の埋め込み $\rho$ を延長する $L \to L$ は $[L:\mathbb{Q}(\alpha)]$ 個で、上と同様に $K$ への制限でまとめると、$\rho$ を延長する $K$ の埋め込みは $[L:\mathbb{Q}(\alpha)]/[L:K] = n/d$ 個です。
</Proof>

<Definition id="def-trace-norm" title="トレースとノルム">
$K$ の埋め込みを $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ とする。$\alpha \in K$ に対し
$$
\mathrm{Tr}(\alpha) := \sum_{i=1}^n \sigma_i(\alpha), \qquad N(\alpha) := \prod_{i=1}^n \sigma_i(\alpha)
$$
をそれぞれ $\alpha$ の**トレース**、**ノルム**という（$\mathrm{Tr}_{K/\mathbb{Q}}$、$N_{K/\mathbb{Q}}$ とも書く）。$\omega_1, \ldots, \omega_n \in K$ に対し $d(\omega_1, \ldots, \omega_n) := \det\bigl(\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j)\bigr)_{i,j}$ を**判別式**という。
</Definition>

<Proposition id="prop-trace-norm" title="トレースとノルムの性質">
$K$ を次数 $n$ の代数体とする。

1. $\alpha \in K$ の最小多項式を $g$、次数を $d$ とすると $\prod_i (x - \sigma_i(\alpha)) = g(x)^{n/d}$。特に $\mathrm{Tr}(\alpha), N(\alpha) \in \mathbb{Q}$ であり、$\alpha \in \mathcal{O}_K$ なら $\mathrm{Tr}(\alpha), N(\alpha) \in \mathbb{Z}$ である。
2. $\mathrm{Tr}$ は $\mathbb{Q}$ 線形、$N$ は乗法的で、$\alpha \neq 0$ なら $N(\alpha) \neq 0$ である。
3. $0 \neq \alpha \in \mathcal{O}_K$ ならば $N(\alpha) \in \alpha\mathcal{O}_K$。
4. $\omega_1, \ldots, \omega_n$ を $K$ の $\mathbb{Q}$ 基底とすると $d(\omega) \neq 0$ であり、$\Omega = (\sigma_i(\omega_j))_{i,j}$ について $d(\omega) = (\det\Omega)^2$。$\omega' = P\omega$（$P \in M_n(\mathbb{Q})$、$\omega'_i = \sum_j p_{ij}\omega_j$）ならば $d(\omega') = (\det P)^2 d(\omega)$。
5. 4 の基底について、$\alpha\omega_j = \sum_k a_{kj}\omega_k$ で定まる行列 $A_\alpha = (a_{kj})$（$\alpha$ 倍写像の表現行列）は $\mathrm{tr}\,A_\alpha = \mathrm{Tr}(\alpha)$、$\det A_\alpha = N(\alpha)$ を満たす。
</Proposition>

<Proof of="prop-trace-norm">
1. 前半は <Ref to="lem-embeddings" /> の言い換えです。$g \in \mathbb{Q}[x]$ なので $g^{n/d}$ の係数 $-\mathrm{Tr}(\alpha)$、$(-1)^nN(\alpha)$ は有理数です。$\alpha \in \mathcal{O}_K$ なら <Ref to="prop-min-poly-integral" /> により $g \in \mathbb{Z}[x]$ で、係数は整数です。

2. 各 $\sigma_i$ は $\mathbb{Q}$ 上線形かつ乗法的なので明らかです。$\sigma_i$ は体の準同型なので単射で、$\alpha \neq 0$ なら各因子が $0$ でありません。

3. 埋め込みの一つは包含写像 $\iota$ です。$\beta := N(\alpha)/\alpha = \prod_{\sigma_i \neq \iota}\sigma_i(\alpha)$ は $K$ の元で、各 $\sigma_i(\alpha)$ は $\alpha$ と同じモニック多項式の根なので代数的整数、したがって <Ref to="thm-ring-of-integers" /> の 1 により $\beta \in \overline{\mathbb{Z}} \cap K = \mathcal{O}_K$。$N(\alpha) = \alpha\beta$ です。

4. $(\Omega^{\mathsf{T}}\Omega)_{ij} = \sum_k \sigma_k(\omega_i)\sigma_k(\omega_j) = \mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j)$ なので、積の定理（<Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#thm-product" />）と転置不変性（<Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#prop-basic" />）から $d(\omega) = (\det\Omega)^2$。同様に $\bigl(\mathrm{Tr}(\omega'_i\omega'_j)\bigr) = P\bigl(\mathrm{Tr}(\omega_k\omega_l)\bigr)P^{\mathsf{T}}$ から変換則が出ます。$d(\omega) = 0$ と仮定すると、<Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#thm-regular" />（体 $\mathbb{Q}$ 上）により $0$ でない $c \in \mathbb{Q}^n$ で $\sum_j \mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j)c_j = 0$（すべての $i$）となるものがあります。$x = \sum_j c_j\omega_j \neq 0$ は $\mathrm{Tr}(\omega_i x) = 0$ を満たし、線形性からすべての $y \in K$ で $\mathrm{Tr}(yx) = 0$。$y = x^{-1}$ とすると $\mathrm{Tr}(1) = n = 0$ となって矛盾です。

5. $\alpha\omega_j = \sum_k a_{kj}\omega_k$ に $\sigma_i$ を施すと $\sigma_i(\alpha)\Omega_{ij} = \sum_k \Omega_{ik}a_{kj}$、すなわち $D\Omega = \Omega A_\alpha$（$D = \mathrm{diag}(\sigma_i(\alpha))$）です。4 により $\Omega$ は正則なので $A_\alpha = \Omega^{-1}D\Omega$ で、トレースと行列式は相似で変わらないので（<Ref to="mathematics/linear-algebra/diagonalization-and-jordan-form#prop-similarity-invariants" />） $\mathrm{tr}\,A_\alpha = \sum_i\sigma_i(\alpha)$、$\det A_\alpha = \prod_i\sigma_i(\alpha)$ です。
</Proof>

整基底の存在の証明の方針は次のとおりです。$K$ の基底からトレース形式の双対基底を作ると、$\mathcal{O}_K$ は、階数が $n$ の二つの自由 $\mathbb{Z}$ 加群ではさまれます。PID 上の加群の部分加群は自由なので、$\mathcal{O}_K$ も自由で、階数は $n$ になります。

<Theorem id="thm-integral-basis" title="整基底の存在と判別式">
$K$ を次数 $n$ の代数体とする。

1. $\mathcal{O}_K$ は階数 $n$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群である。その基底（**整基底**）$\omega_1, \ldots, \omega_n$ は $K$ の $\mathbb{Q}$ 基底でもある。
2. $d_K := d(\omega_1, \ldots, \omega_n)$ は整基底の取り方によらない $0$ でない整数である。これを $K$ の**判別式**という。
3. $\beta_i = \sum_j p_{ij}\omega_j$（$P = (p_{ij}) \in M_n(\mathbb{Z})$、$\det P \neq 0$）が生成する部分群 $M$ について、$[\mathcal{O}_K : M] = |\det P|$、$d(\beta) = [\mathcal{O}_K:M]^2 d_K$ である。
4. $0 \neq \alpha \in \mathcal{O}_K$ ならば $[\mathcal{O}_K : \alpha\mathcal{O}_K] = |N(\alpha)|$。
</Theorem>

<Proof of="thm-integral-basis">
1. $K$ の $\mathbb{Q}$ 基底を取り、<Ref to="thm-ring-of-integers" /> の 2 で整数倍して $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathcal{O}_K$ とします。<Ref to="prop-trace-norm" /> の 4 よりグラム行列 $G = (\mathrm{Tr}(\alpha_i\alpha_j))$ は正則なので、$\alpha^{*} := G^{-1}\alpha$ とおくと $\mathrm{Tr}(\alpha_i\alpha_j^{*}) = \delta_{ij}$ です（双対基底）。$\beta \in \mathcal{O}_K$ を $\beta = \sum_j c_j\alpha_j^{*}$ と書くと $c_j = \mathrm{Tr}(\beta\alpha_j) \in \mathbb{Z}$（<Ref to="prop-trace-norm" /> の 1）。よって $\sum_i \mathbb{Z}\alpha_i \subseteq \mathcal{O}_K \subseteq \sum_j \mathbb{Z}\alpha_j^{*} \cong \mathbb{Z}^n$ です。<Ref to="mathematics/algebra/modules-over-pid#thm-submodule-free" /> により $\mathcal{O}_K$ は $m \le n$ 個の元を基底とする自由加群です。その基底は $\mathbb{Z}$ 上一次独立なので（分母を払えば）$\mathbb{Q}$ 上も一次独立で、$\mathcal{O}_K$ は $\mathbb{Q}$ 上一次独立な $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ を含むので $m \ge n$。よって $m = n$ で、基底は $K$ の $\mathbb{Q}$ 基底です。

2. 整基底どうしは互いに整数行列 $P$、$P^{-1}$ で移り合うので $\det P \cdot \det P^{-1} = 1$ から $\det P = \pm1$、<Ref to="prop-trace-norm" /> の 4 で $d$ は変わりません。$\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j) \in \mathbb{Z}$ なので $d_K \in \mathbb{Z}$、$\neq 0$ も <Ref to="prop-trace-norm" /> の 4 です。

3. 整基底で $\mathcal{O}_K \cong \mathbb{Z}^n$ と同一視すると、$M$ は整数行列 $Q = P^{\mathsf{T}}$ の列が生成する部分群です。スミス標準形 <Ref to="mathematics/algebra/modules-over-pid#thm-smith" /> により $Q = UDV$（$U, V$ は $\mathbb{Z}$ 上可逆、$D = \mathrm{diag}(d_1, \ldots, d_n)$）と書け、$\det Q \neq 0$ よりすべての $d_i \neq 0$ です。$V\mathbb{Z}^n = \mathbb{Z}^n$ なので $M = UD\mathbb{Z}^n$、$U$ による同型で $\mathbb{Z}^n/M \cong \mathbb{Z}^n/D\mathbb{Z}^n \cong \bigoplus_i \mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}$。位数は $\prod|d_i| = |\det D| = |\det Q| = |\det P|$ です。後半は <Ref to="prop-trace-norm" /> の 4 です。

4. $\alpha\mathcal{O}_K$ は $\alpha\omega_j = \sum_k a_{kj}\omega_k$ で生成され、$A_\alpha$ は整数行列です。3 と <Ref to="prop-trace-norm" /> の 5 から $[\mathcal{O}_K:\alpha\mathcal{O}_K] = |\det A_\alpha| = |N(\alpha)|$。
</Proof>

4 は「ノルムは主イデアルで割った剰余環の大きさ」という幾何的な意味をノルムに与えます。たとえば $\mathbb{Z}[i]$ で $\alpha = 2 + i$ なら $N(\alpha) = 5$ で、$\mathbb{Z}[i]/(2+i)$ は 5 元の体 $\mathbb{F}_5$ です。

## 4. Dedekind 整域とイデアルの素因数分解

<Definition id="def-dedekind" title="Dedekind 整域">
体でない整域 $A$ が次の 3 条件を満たすとき、**Dedekind 整域**という。(i) ネーター環である（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#def-noetherian" />）。(ii) 商体の中で整閉である。(iii) $0$ でない素イデアルはすべて極大イデアルである。
</Definition>

<Theorem id="thm-ok-dedekind" title="整数環は Dedekind 整域">
代数体 $K$ の整数環 $\mathcal{O}_K$ は Dedekind 整域である。さらに $0$ でない任意のイデアル $I$ について $\mathcal{O}_K/I$ は有限環である。
</Theorem>

<Proof of="thm-ok-dedekind">
$1/2 \notin \mathcal{O}_K$（<Ref to="thm-ring-of-integers" /> の 3）なので体ではありません。(ii) は <Ref to="thm-ring-of-integers" /> の 2・4 です。(i)：イデアル $I$ は $\mathcal{O}_K \cong \mathbb{Z}^n$（<Ref to="thm-integral-basis" />）の部分群なので <Ref to="mathematics/algebra/modules-over-pid#thm-submodule-free" /> により有限生成アーベル群で、その生成元はイデアルとしても $I$ を生成します。<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#prop-noetherian-equiv" /> からネーター環です。有限性と (iii)：$0 \neq \alpha \in I$ を取ると <Ref to="prop-trace-norm" /> の 3 より $m := |N(\alpha)| \in I$ は正の整数です。$m\mathcal{O}_K \subseteq I$ で、$\mathcal{O}_K/m\mathcal{O}_K \cong (\mathbb{Z}/m)^n$ は $m^n$ 元なので、その商 $\mathcal{O}_K/I$ も有限です。$I$ が素イデアルなら $\mathcal{O}_K/I$ は有限整域なので体（<Ref to="mathematics/algebra/rings-and-fields#thm-finite-domain-is-field" />）、よって $I$ は極大です（<Ref to="mathematics/algebra/ideals-and-quotient-rings#thm-maximal-iff-field" />）。
</Proof>

以下この節では、$A$ を Dedekind 整域、$F$ をその商体とします。イデアル $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ の積 $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ は $ab$（$a \in \mathfrak{a}$、$b \in \mathfrak{b}$）の有限和の全体です。素イデアル $\mathfrak{p}$ が積 $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ を含めば $\mathfrak{a}$ か $\mathfrak{b}$ を含みます（$a \in \mathfrak{a} \setminus \mathfrak{p}$、$b \in \mathfrak{b} \setminus \mathfrak{p}$ があれば $ab \in \mathfrak{p}$ に反します）。この事実を何度も使います。

<Lemma id="lem-contains-product" title="素イデアルの積を含む">
$A$ の $0$ でない任意のイデアルは、$0$ でない素イデアルの有限個の積を含む。
</Lemma>

<Proof of="lem-contains-product">
主張が成り立たないイデアルの全体 $\Sigma$ が空でないと仮定します。$A$ はネーター環なので $\Sigma$ には極大元 $\mathfrak{a}$ があります（極大元がなければ $\Sigma$ の中に止まらない昇鎖が作れます）。$\mathfrak{a}$ は素イデアルでなく（素イデアルなら自分自身を含む）、$A$ でもありません（$A$ は体でないので $0$ でない極大イデアルを持ち、それを含む）。よって $b, c \notin \mathfrak{a}$ で $bc \in \mathfrak{a}$ となるものがあります。$\mathfrak{a} + bA$ と $\mathfrak{a} + cA$ は $\mathfrak{a}$ より真に大きいので $\Sigma$ に属さず、それぞれ素イデアルの積を含みます。ところが $(\mathfrak{a} + bA)(\mathfrak{a} + cA) \subseteq \mathfrak{a} + bcA = \mathfrak{a}$ なので、$\mathfrak{a}$ も二つの積の積を含み、矛盾です。
</Proof>

次の補題は、素イデアル $\mathfrak{p}$ に「逆」を与えるためのものです。整数 $p$ に対する $1/p$ にあたる $\mathfrak{p}^{-1}$ を考え、$\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1} = A$ となることを示すのが目標です。逆があるとイデアルを「割る」ことができ、素イデアルへの分解の存在と一意性の証明に使えます。

<Lemma id="lem-inverse" title="素イデアルの逆">
$\mathfrak{p}$ を $A$ の $0$ でない素イデアルとし、$\mathfrak{p}^{-1} := \{x \in F \mid x\mathfrak{p} \subseteq A\}$ とおく。

1. $\mathfrak{p}^{-1} \neq A$（$A \subseteq \mathfrak{p}^{-1}$ は明らか）。
2. $0$ でない任意のイデアル $\mathfrak{a}$ について $\mathfrak{a} \subsetneq \mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1}$。ここで $\mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1}$ は $ax$（$a \in \mathfrak{a}$、$x \in \mathfrak{p}^{-1}$）の有限和の全体である。
3. $\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1} = A$。
</Lemma>

<Proof of="lem-inverse">
1. $0 \neq a \in \mathfrak{p}$ を取ります。<Ref to="lem-contains-product" /> により $aA \supseteq \mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r$ となる $0$ でない素イデアルがあり、$r$ を最小に取ります。$\mathfrak{p} \supseteq \mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r$ なので、ある $\mathfrak{p}_i$、たとえば $\mathfrak{p}_1$ が $\mathfrak{p}$ に含まれ、条件 (iii) から $\mathfrak{p}_1$ は極大なので $\mathfrak{p}_1 = \mathfrak{p}$ です。$r$ の最小性から $\mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_r \not\subseteq aA$（$r = 1$ のときは空積 $A$ と読む）なので、$b \in \mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_r \setminus aA$ が取れます。$b\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r \subseteq aA$ なので $b/a \in \mathfrak{p}^{-1}$ ですが、$b \notin aA$ より $b/a \notin A$ です。

2. $\mathfrak{a} = \mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1}$ と仮定し、1 の $x \in \mathfrak{p}^{-1} \setminus A$ を取ります。$\mathfrak{a}$ の生成元 $a_1, \ldots, a_k$（ネーター性）について $xa_i \in \mathfrak{a}$ なので $xa_i = \sum_j c_{ij}a_j$（$c_{ij} \in A$）。体 $F$ 上で <Ref to="lem-module-criterion" /> の証明と同じ計算をすると $\det(xI - C) = 0$ で、$x$ は $A$ 係数のモニック多項式の根です。$A$ は整閉なので $x \in A$ となり矛盾です。

3. $\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1} \subseteq A$ で、$\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1}$ はイデアルです。2 からこれは $\mathfrak{p}$ と異なり、$\mathfrak{p}$ は極大なので $A$ に等しくなります。
</Proof>

<Theorem id="thm-ideal-factorization" title="イデアルの素イデアル分解">
Dedekind 整域 $A$ の $0$ でも $A$ でもないイデアル $\mathfrak{a}$ は、$0$ でない素イデアルの積 $\mathfrak{a} = \mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r$ に書け、この表示は因子の順序を除いて一意である。
</Theorem>

<Proof of="thm-ideal-factorization">
**存在。** 素イデアルの積に書けない $0$ でない真のイデアルがあるとして、ネーター性からそのうち極大なもの $\mathfrak{a}$ を取ります。$\mathfrak{a}$ を含む極大イデアル $\mathfrak{p}$ を取ると（同じくネーター性から存在します）、<Ref to="lem-inverse" /> から
$$
\mathfrak{a} \subsetneq \mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1} \subseteq \mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1} = A
$$
で、$\mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1}$ は $A$ のイデアルです。$\mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1} = A$ なら $\mathfrak{a} = \mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p} = \mathfrak{p}$ で、$\mathfrak{a}$ は素イデアルそのものです。そうでなければ $\mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1}$ は $\mathfrak{a}$ より大きい真のイデアルなので素イデアルの積に書け、$\mathfrak{a} = (\mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1})\mathfrak{p}$ も積に書けます。どちらも $\mathfrak{a}$ の選び方に反します。

**一意性。** $\mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r = \mathfrak{q}_1\cdots\mathfrak{q}_s$ とし、$r$ に関する帰納法で示します。$\mathfrak{p}_1$ は右辺を含むので、ある $\mathfrak{q}_j$ を含み、$\mathfrak{q}_j$ は極大なので $\mathfrak{p}_1 = \mathfrak{q}_j$ です。両辺に $\mathfrak{p}_1^{-1}$ を掛けると、<Ref to="lem-inverse" /> の 3 により $\mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_r = \prod_{k \neq j}\mathfrak{q}_k$ となり、帰納法の仮定に帰着します（$r = 1$ のとき、右辺に残る因子があれば左辺 $A$ がその素イデアルに含まれて矛盾）。
</Proof>

<Definition id="def-fractional-ideal" title="分数イデアル">
$F$ の $0$ でない $A$ 部分加群 $\mathfrak{a}$ で、ある $0 \neq d \in A$ について $d\mathfrak{a} \subseteq A$ となるものを**分数イデアル**という。$0$ でないイデアル（**整イデアル**）や $\mathfrak{p}^{-1}$、$xA$（$x \in F^{\times}$、**単項分数イデアル**）は分数イデアルである。積はイデアルと同様に定める。
</Definition>

<Theorem id="thm-fractional-group" title="分数イデアルの群">
1. 分数イデアルの全体は積について $A$ を単位元とするアーベル群をなし、$\mathfrak{p}$ の逆元は $\mathfrak{p}^{-1}$ である。
2. 任意の分数イデアル $\mathfrak{a}$ は、有限個を除いて $0$ の整数 $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})$ により $\mathfrak{a} = \prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})}$ と一意に表される（$\mathfrak{p}$ は $0$ でない素イデアル全体を動く）。
3. $\mathfrak{a} \subseteq A$ であることと、すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a}) \ge 0$ であることは同値である。
4. 整イデアル $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ について、$\mathfrak{a} \supseteq \mathfrak{b}$ ⇔ すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a}) \le v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{b})$ ⇔ $\mathfrak{b} = \mathfrak{a}\mathfrak{c}$ となる整イデアル $\mathfrak{c}$ がある（**含むことは割ること**）。
</Theorem>

<Proof of="thm-fractional-group">
1・2. 積が結合的・可換で $A$ が単位元なのは明らかです。<Ref to="thm-ideal-factorization" /> と <Ref to="lem-inverse" /> の 3 から、整イデアル $\mathfrak{b} = \mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r$ は逆元 $\mathfrak{p}_1^{-1}\cdots\mathfrak{p}_r^{-1}$ を持ちます。分数イデアル $\mathfrak{a}$ で $d\mathfrak{a} \subseteq A$ なら、$(dA)\mathfrak{a} = d\mathfrak{a}$ と $dA$ はともに整イデアルで、$\mathfrak{a} = (dA)^{-1}(d\mathfrak{a})$ は可逆元の積なので可逆、しかも素イデアルとその逆の積で書けます。表示の一意性：$\prod\mathfrak{p}^{a_{\mathfrak{p}}} = \prod\mathfrak{p}^{b_{\mathfrak{p}}}$ なら、両辺に十分大きな $\prod\mathfrak{p}^{c_{\mathfrak{p}}}$ を掛けて指数をすべて $0$ 以上にし、<Ref to="thm-ideal-factorization" /> の一意性を使えば $a_{\mathfrak{p}} = b_{\mathfrak{p}}$ です。

3. 指数がすべて $0$ 以上なら $\mathfrak{a}$ は整イデアルの積なので $A$ に含まれます。逆に $\mathfrak{a} \subseteq A$ なら $\mathfrak{a}$ は整イデアルで、<Ref to="thm-ideal-factorization" /> の分解（$\mathfrak{a} = A$ なら空積）の指数は $0$ 以上、一意性からそれが $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})$ です。

4. $\mathfrak{c} := \mathfrak{a}^{-1}\mathfrak{b}$ とおきます。$\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a}$ なら両辺に $\mathfrak{a}^{-1}$ を掛けて $\mathfrak{c} \subseteq A$、逆に $\mathfrak{c} \subseteq A$ なら $\mathfrak{a}$ を掛けて $\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a}$。3 により $\mathfrak{c} \subseteq A$ は $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{b}) - v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a}) \ge 0$ と同値です。
</Proof>

<Corollary id="cor-valuation" title="付値">
$x \in F^{\times}$ に対し $v_{\mathfrak{p}}(x) := v_{\mathfrak{p}}(xA)$ とおく。$v_{\mathfrak{p}} : F^{\times} \to \mathbb{Z}$ は準同型で、$x \in A$ ⇔ すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(x) \ge 0$、$x \in A^{\times}$ ⇔ すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(x) = 0$ が成り立つ。
</Corollary>

<Proof of="cor-valuation">
$(xA)(yA) = xyA$ と <Ref to="thm-fractional-group" /> の 2 の一意性から $v_{\mathfrak{p}}(xy) = v_{\mathfrak{p}}(x) + v_{\mathfrak{p}}(y)$。$x \in A$ ⇔ $xA \subseteq A$ なので、前半は <Ref to="thm-fractional-group" /> の 3 です。$x \in A^{\times}$ は $x, x^{-1} \in A$ と同値で、$v_{\mathfrak{p}}(x^{-1}) = -v_{\mathfrak{p}}(x)$ です。
</Proof>

分数イデアルの群を単項分数イデアルの部分群で割った商群が**イデアル類群** $\mathrm{Cl}(A)$ です。$\mathrm{Cl}(A)$ が自明であることと $A$ が単項イデアル整域であることは同値で、イデアル類群は「元の素因数分解の一意性がどれだけ壊れているか」を測ります。整数環の類群が有限であることは次の記事 [イデアル類群の有限性と Minkowski 限界](/mathematics/number-theory/class-group-and-minkowski-bound) で示します。

## 5. 素イデアルの分解

ここから $A = \mathcal{O}_K$ に戻ります。$\mathcal{O}_K$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{P}$ について、$\mathfrak{P} \cap \mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ の素イデアルで、$1$ を含まず、正の整数 $|N(\alpha)|$（$0 \neq \alpha \in \mathfrak{P}$）を含むので、ある素数 $p$ について $p\mathbb{Z}$ です。このとき $\mathfrak{P}$ は $p$ の**上にある**といい、<Ref to="thm-fractional-group" /> の 4 から $\mathfrak{P}$ は $p\mathcal{O}_K$ の素因子です。

<Definition id="def-ramification-index" title="分岐指数・剰余次数・イデアルのノルム">
素数 $p$ について $p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{P}_g^{e_g}$（$\mathfrak{P}_i$ は相異なる）と分解するとき、$e_i = e(\mathfrak{P}_i \mid p)$ を**分岐指数**、有限体 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{P}_i$ の $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上の次数 $f_i = f(\mathfrak{P}_i \mid p)$ を**剰余次数**という。ある $e_i \ge 2$ のとき $p$ は $K$ で**分岐する**という。$0$ でない整イデアル $\mathfrak{a}$ の**ノルム**を $N\mathfrak{a} := |\mathcal{O}_K/\mathfrak{a}|$ と定める（<Ref to="thm-ok-dedekind" /> により有限）。
</Definition>

<Lemma id="lem-crt" title="中国剰余定理（環）">
可換環 $R$ のイデアル $\mathfrak{a}_1, \ldots, \mathfrak{a}_r$ が、$i \neq j$ で $\mathfrak{a}_i + \mathfrak{a}_j = R$ を満たすとする。このとき $\mathfrak{a}_1\cdots\mathfrak{a}_r = \mathfrak{a}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{a}_r$ であり、$R/\mathfrak{a}_1\cdots\mathfrak{a}_r \cong \prod_i R/\mathfrak{a}_i$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-crt">
まず $\mathfrak{a}_1 + \mathfrak{a}_2\cdots\mathfrak{a}_r = R$ です。実際 $1 = x_j + y_j$（$x_j \in \mathfrak{a}_1$、$y_j \in \mathfrak{a}_j$）と書くと $y_2\cdots y_r = \prod_j(1 - x_j) \in 1 + \mathfrak{a}_1$ です。次に $\mathfrak{a} + \mathfrak{b} = R$ なら $\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b} = \mathfrak{a}\mathfrak{b}$：$\supseteq$ は明らかで、$1 = x + y$（$x \in \mathfrak{a}$、$y \in \mathfrak{b}$）なら $z \in \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$ は $z = zx + zy \in \mathfrak{b}\mathfrak{a} + \mathfrak{a}\mathfrak{b}$ です。この二つから帰納法で積と共通部分が一致します。写像 $R \to \prod_i R/\mathfrak{a}_i$ の核は $\bigcap_i\mathfrak{a}_i$ です。全射性：上と同様に $1 = x_i + y_i$（$x_i \in \mathfrak{a}_i$、$y_i \in \prod_{j \neq i}\mathfrak{a}_j$）と書くと $y_i \equiv 1 \pmod{\mathfrak{a}_i}$、$y_i \equiv 0 \pmod{\mathfrak{a}_j}$（$j \neq i$）なので、$\sum_i r_iy_i$ が任意の $(r_i \bmod \mathfrak{a}_i)$ に写ります。環の準同型定理（<Ref to="mathematics/algebra/ideals-and-quotient-rings#thm-first-isomorphism" />）から主張を得ます。
</Proof>

<Proposition id="prop-ideal-norm" title="イデアルのノルムの性質">
1. 相異なる素イデアル $\mathfrak{P} \neq \mathfrak{Q}$ と $a, b \ge 1$ について $\mathfrak{P}^a + \mathfrak{Q}^b = \mathcal{O}_K$。
2. 素イデアル $\mathfrak{P}$ と $e \ge 1$ について $N(\mathfrak{P}^e) = (N\mathfrak{P})^e$。
3. $N(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = N\mathfrak{a}\,N\mathfrak{b}$。また $0 \neq \alpha \in \mathcal{O}_K$ について $N(\alpha\mathcal{O}_K) = |N(\alpha)|$。
4. $N\mathfrak{a} \in \mathfrak{a}$。
</Proposition>

<Proof of="prop-ideal-norm">
1. $\mathfrak{c} = \mathfrak{P}^a + \mathfrak{Q}^b$ は両方を含むので、<Ref to="thm-fractional-group" /> の 4 から両方を割ります。$\mathfrak{c}$ の素因子は $\mathfrak{P}$ でも $\mathfrak{Q}$ でもなければなりませんが、$\mathfrak{P} \neq \mathfrak{Q}$ なので $\mathfrak{c}$ は素因子を持たず、$\mathfrak{c} = \mathcal{O}_K$ です。

2. 列 $\mathcal{O}_K \supseteq \mathfrak{P} \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{P}^e$ の各段 $\mathfrak{P}^k/\mathfrak{P}^{k+1}$ が $N\mathfrak{P}$ 元であることを示せば十分です（位数は段ごとの積：<Ref to="mathematics/algebra/homomorphism-theorems#cor-order" />）。一意分解から $\mathfrak{P}^k \neq \mathfrak{P}^{k+1}$ なので $\pi \in \mathfrak{P}^k \setminus \mathfrak{P}^{k+1}$ が取れます。$\mathfrak{P}^{k+1} \subseteq \pi\mathcal{O}_K + \mathfrak{P}^{k+1} \subseteq \mathfrak{P}^k$ で、<Ref to="thm-fractional-group" /> の 4 から間のイデアルは $\mathfrak{P}^{k}$ か $\mathfrak{P}^{k+1}$ のどちらかであり、$\pi$ を含むので $\mathfrak{P}^k$ です。よって $\mathcal{O}_K \to \mathfrak{P}^k/\mathfrak{P}^{k+1}$、$x \mapsto x\pi$ は全射で、核は $\{x \mid x\pi \in \mathfrak{P}^{k+1}\}$ という $\mathfrak{P}$ を含む真のイデアル、すなわち $\mathfrak{P}$ です（$\mathfrak{P}$ は極大）。加法群として $\mathfrak{P}^k/\mathfrak{P}^{k+1} \cong \mathcal{O}_K/\mathfrak{P}$ です。

3. $\mathfrak{a} = \prod\mathfrak{P}_i^{a_i}$ と分解すると、1 と <Ref to="lem-crt" /> から $\mathcal{O}_K/\mathfrak{a} \cong \prod\mathcal{O}_K/\mathfrak{P}_i^{a_i}$、2 から $N\mathfrak{a} = \prod(N\mathfrak{P}_i)^{a_i}$ です。この式は指数について加法的なので乗法性が従います。後半は <Ref to="thm-integral-basis" /> の 4 です。

4. 加法群 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{a}$ の位数が $N\mathfrak{a}$ なので、各元の $N\mathfrak{a}$ 倍は $0$ です（<Ref to="mathematics/algebra/subgroups-and-lagrange#cor-element-order" />）。$1$ に適用すれば $N\mathfrak{a} \in \mathfrak{a}$。
</Proof>

<Theorem id="thm-sum-ef" title="基本等式">
次数 $n$ の代数体 $K$ と素数 $p$ について、$p\mathcal{O}_K = \prod_{i=1}^g\mathfrak{P}_i^{e_i}$ ならば $\sum_{i=1}^g e_if_i = n$。
</Theorem>

<Proof of="thm-sum-ef">
$\mathcal{O}_K \cong \mathbb{Z}^n$ のもとで $p\mathcal{O}_K$ は $p\mathbb{Z}^n$ に対応するので $N(p\mathcal{O}_K) = p^n$。一方 $N\mathfrak{P}_i = p^{f_i}$ なので <Ref to="prop-ideal-norm" /> の 3 から $N(p\mathcal{O}_K) = \prod_i p^{e_if_i}$ です。
</Proof>

<Figure caption="素数 p の上にある素イデアル。各 P_i は分岐指数 e_i と剰余次数 f_i を持ち、Σ e_i f_i = n となる">
<svg viewBox="0 0 420 200" width="100%" role="img" aria-label="下段の p から上段の P1, P2, P3 へ線が伸び、それぞれに e と f のラベルがある図">
  <text x="10" y="40" font-size="13" fill="currentColor">O_K</text>
  <text x="10" y="170" font-size="13" fill="currentColor">Z</text>
  <circle cx="210" cy="165" r="6" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <text x="222" y="170" font-size="13" fill="currentColor">p</text>
  <circle cx="100" cy="40" r="6" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="210" cy="40" r="6" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="320" cy="40" r="6" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <line x1="210" y1="160" x2="100" y2="46" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <line x1="210" y1="160" x2="210" y2="46" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <line x1="210" y1="160" x2="320" y2="46" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <text x="80" y="25" font-size="13" fill="currentColor">P₁</text>
  <text x="200" y="25" font-size="13" fill="currentColor">P₂</text>
  <text x="310" y="25" font-size="13" fill="currentColor">P₃</text>
  <text x="105" y="105" font-size="12" fill="currentColor">e₁, f₁</text>
  <text x="216" y="105" font-size="12" fill="currentColor">e₂, f₂</text>
  <text x="275" y="105" font-size="12" fill="currentColor">e₃, f₃</text>
  <text x="250" y="190" font-size="12" fill="currentColor">e₁f₁ + e₂f₂ + e₃f₃ = n</text>
</svg>
</Figure>

$K/\mathbb{Q}$ が**ガロア拡大**であるとは、すべての埋め込みの像が $K$ に入ることとします。このとき埋め込みは $K$ の自己同型で、$G = \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ はちょうど $n$ 個の元からなります（<Ref to="lem-embeddings" />）。

証明の方針です。ガロア群の元は、$p$ の上にある素イデアルを別の素イデアルへ移します。そこで、ある素イデアルの移り先に入らない素イデアルがあると仮定し、中国剰余定理で「その素イデアルでは $0$、移り先の素イデアルたちでは $1$」となる元を作って矛盾を導きます。これで、すべての素イデアルが互いに移り合い、$e$ と $f$ が共通になることが分かります。

<Theorem id="thm-efg" title="ガロア拡大での分解">
$K/\mathbb{Q}$ をガロア拡大、$p$ を素数とする。$G$ は $p$ の上にある素イデアルの集合に推移的に作用し、したがって $e_1 = \cdots = e_g =: e$、$f_1 = \cdots = f_g =: f$ であって $efg = n$ となる。
</Theorem>

<Proof of="thm-efg">
$\sigma \in G$ は $\mathcal{O}_K$ を $\mathcal{O}_K$ に写し（代数的整数の満たすモニック多項式を保つ）、素イデアルを素イデアルに、$p$ の上にあるものを $p$ の上にあるものに写します。$\mathfrak{P}$ の $G$ 軌道に入らない、$p$ の上の素イデアル $\mathfrak{Q}$ があると仮定します。$\mathfrak{Q}$ と相異なる $\sigma\mathfrak{P}$ たちに <Ref to="prop-ideal-norm" /> の 1 と <Ref to="lem-crt" /> を使うと、$x \equiv 0 \pmod{\mathfrak{Q}}$、すべての $\sigma$ で $x \equiv 1 \pmod{\sigma\mathfrak{P}}$ となる $x \in \mathcal{O}_K$ が取れます。$N(x) = \prod_{\sigma \in G}\sigma(x)$ は $x \in \mathfrak{Q}$ の倍数で整数なので $\mathfrak{Q} \cap \mathbb{Z} = p\mathbb{Z} \subseteq \mathfrak{P}$ に入り、$\mathfrak{P}$ は素イデアルなので、ある $\sigma(x) \in \mathfrak{P}$、すなわち $x \in \sigma^{-1}\mathfrak{P}$ です。これは $x \equiv 1 \pmod{\sigma^{-1}\mathfrak{P}}$ に反します。

$\sigma$ を $p\mathcal{O}_K = \prod\mathfrak{P}_i^{e_i}$ に施すと $p\mathcal{O}_K = \prod(\sigma\mathfrak{P}_i)^{e_i}$ で、一意性から $e(\sigma\mathfrak{P} \mid p) = e(\mathfrak{P} \mid p)$。また $\sigma$ は環同型 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{P} \cong \mathcal{O}_K/\sigma\mathfrak{P}$ を引き起こすので $f$ も等しくなります。推移性からすべての $e_i$、$f_i$ が等しく、<Ref to="thm-sum-ef" /> から $efg = n$ です。
</Proof>

## 6. 分岐と判別式

証明の方針です。分岐していれば、$x^2 \in p\mathcal{O}_K$ かつ $x \notin p\mathcal{O}_K$ となる $x$ が取れます。剰余環 $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ では、$x$ 倍は「2 回かけると $0$」になる写像で、その表現行列のトレースは $0$ になります。これを使って、トレース形式の行列式 $d_K$ が $p$ で割り切れることを示します。

<Theorem id="thm-ramified-divides" title="分岐する素数は判別式を割る">
素数 $p$ が $K$ で分岐するならば $p \mid d_K$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-ramified-divides">
$p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{P}_g^{e_g}$、$e_1 \ge 2$ とします。$\mathfrak{b} = \mathfrak{P}_1^{e_1 - 1}\mathfrak{P}_2^{e_2}\cdots\mathfrak{P}_g^{e_g}$ は $p\mathcal{O}_K$ を真に含む（一意分解と <Ref to="thm-fractional-group" /> の 4）ので、$x \in \mathfrak{b} \setminus p\mathcal{O}_K$ が取れます。$x^2 \in \mathfrak{b}^2 \subseteq p\mathcal{O}_K$ です（$2(e_1 - 1) \ge e_1$）。

$\omega_1, \ldots, \omega_n$ を整基底、$V = \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ とすると、$V$ は $\bar\omega_1, \ldots, \bar\omega_n$ を基底とする $\mathbb{F}_p$ 上の $n$ 次元空間です。$y \in \mathcal{O}_K$ について、$y$ 倍の表現行列 $A_y$（整数行列、トレースは $\mathrm{Tr}(y)$：<Ref to="prop-trace-norm" /> の 5）を $p$ で還元したものは、$V$ の $\bar y$ 倍の表現行列です。$z = xy$ なら $z^2 \in p\mathcal{O}_K$ なので、$V$ の $\bar z$ 倍 $T$ は $T^2 = 0$ を満たします。$\mathrm{im}\,T \subseteq \ker T$ なので、$\mathrm{im}\,T$ の基底を $\ker T$ の基底に、さらに $V$ の基底に延ばすと、$T$ の行列は対角成分がすべて $0$ になり、$\mathrm{tr}\,T = 0$ です（トレースは基底によらない）。よってすべての $y$ で $\mathrm{Tr}(xy) \equiv 0 \pmod p$ です。

$x = \sum_j c_j\omega_j$（$c_j \in \mathbb{Z}$）と書くと、$x \notin p\mathcal{O}_K$ なので $\bar c = (c_j \bmod p) \neq 0$ で、$\sum_j\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j)c_j = \mathrm{Tr}(\omega_ix) \equiv 0$（すべての $i$）。つまり $\mathbb{F}_p$ 上の行列 $(\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j) \bmod p)$ は $0$ でない核を持ち、その行列式 $d_K \bmod p$ は $0$ です（<Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#thm-regular" />、体 $\mathbb{F}_p$ 上）。
</Proof>

逆向きを示すには、$p$ が分岐しないとき $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ が有限体の直積になることと、有限体のトレース形式が非退化であることを使います。後者が次の補題です。

<Lemma id="lem-finite-field-trace" title="有限体のトレース形式">
$k$ を標数 $p$ の有限体とし、$|k| = p^f$ とする。$x \in k$ に対し、$x$ 倍写像 $k \to k$ を $\mathbb{F}_p$ 上の線形写像と見たときのトレースを $t(x) \in \mathbb{F}_p$ と書く。

1. $t(x) = x + x^p + x^{p^2} + \cdots + x^{p^{f-1}}$。
2. $0 \neq x \in k$ ならば、$t(xy) \neq 0$ となる $y \in k$ がある。すなわち双線形形式 $(x, y) \mapsto t(xy)$ は非退化である。
</Lemma>

<Proof of="lem-finite-field-trace">
$k$ は $\mathbb{Z}$ の像 $\mathbb{F}_p$ を含み、$\mathbb{F}_p$ 上の次元を $d$ とすると $|k| = p^d$ なので $d = f$ です。$0 \le i \le f - 1$ について $\sigma_i(x) := x^{p^i}$ とおきます。<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#lem-frobenius" /> により $\sigma_i$ は体の準同型 $k \to k$ で、$c \in \mathbb{F}_p$ ならフェルマーの小定理（<Ref to="mathematics/algebra/subgroups-and-lagrange#thm-euler-fermat" />）から $c^p = c$ なので $\sigma_i(cx) = c\,\sigma_i(x)$、つまり $\sigma_i$ は $\mathbb{F}_p$ 線形です。

**$\sigma_0, \ldots, \sigma_{f-1}$ は相異なる。** <Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#thm-unit-cyclic" /> により $k^{\times}$ は位数 $p^f - 1$ の元 $\xi$ で生成されます。$0 \le i \lt j \le f-1$ で $\sigma_i(\xi) = \sigma_j(\xi)$ なら $\xi^{p^j - p^i} = 1$ ですが、$0 \lt p^j - p^i \lt p^f - 1$ なので $\xi$ の位数の最小性に反します。

1. $\omega_1, \ldots, \omega_f$ を $k$ の $\mathbb{F}_p$ 基底とし、$k$ 成分の $f$ 次正方行列 $\Omega = (\sigma_i(\omega_j))$（行 $i = 0, \ldots, f-1$、列 $j$）を考えます。$\Omega$ が正則でなければ、<Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#thm-regular" />（体 $k$ 上、$\Omega^{\mathsf{T}}$ に適用）により $0$ でない $c \in k^f$ で $\sum_i c_i\sigma_i(\omega_j) = 0$（すべての $j$）となるものがあり、$\sigma_i$ の $\mathbb{F}_p$ 線形性からすべての $y \in k$ で $\sum_i c_i\sigma_i(y) = 0$ です。これはデデキントの補題 <Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#lem-dedekind" /> に反するので、$\Omega$ は正則です。$x\omega_j = \sum_l a_{lj}\omega_l$（$a_{lj} \in \mathbb{F}_p$）に $\sigma_i$ を施すと、$\sigma_i(a_{lj}) = a_{lj}$ なので $\sigma_i(x)\sigma_i(\omega_j) = \sum_l \sigma_i(\omega_l)a_{lj}$、すなわち $D\Omega = \Omega A$（$D = \mathrm{diag}(\sigma_i(x))$、$A = (a_{lj})$）です。<Ref to="prop-trace-norm" /> の 5 の証明と同じく、$A = \Omega^{-1}D\Omega$ とトレースの相似不変性（<Ref to="mathematics/linear-algebra/diagonalization-and-jordan-form#prop-similarity-invariants" />）から $t(x) = \mathrm{tr}\,A = \sum_i \sigma_i(x)$ です。

2. 1 とデデキントの補題（係数をすべて $1$ とする）から、$t(z) = \sum_i\sigma_i(z) \neq 0$ となる $z \in k$ があります。$x \neq 0$ なら $y = x^{-1}z$ とおけば $t(xy) = t(z) \neq 0$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-discriminant-ramified" title="判別式を割る素数は分岐する">
素数 $p$ が $p \mid d_K$ を満たすならば、$p$ は $K$ で分岐する。したがって <Ref to="thm-ramified-divides" /> と合わせて、$p$ が $K$ で分岐することと $p \mid d_K$ は同値であり、分岐する素数は有限個である。
</Theorem>

<Proof of="thm-discriminant-ramified">
対偶を示します。$p$ が分岐しない、つまり $p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}_1\cdots\mathfrak{P}_g$（相異なる素イデアル）とし、$k_i = \mathcal{O}_K/\mathfrak{P}_i$、$z_i := z \bmod \mathfrak{P}_i$ と書きます。<Ref to="prop-ideal-norm" /> の 1 と <Ref to="lem-crt" /> から、環同型 $\phi : V := \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \to \prod_i k_i$、$\bar z \mapsto (z_i)_i$ があり、これは $\mathbb{F}_p$ 線形です。各 $k_i$ は $p$ を $0$ にする有限体です。

$z \in \mathcal{O}_K$ について、<Ref to="thm-ramified-divides" /> の証明と同じく、$V$ の $\bar z$ 倍写像 $T_z$ のトレースは $\mathrm{Tr}(z) \bmod p$ です。一方 $\phi$ で移すと $T_z$ は $(u_i) \mapsto (z_iu_i)$ で、各 $k_i$ の $\mathbb{F}_p$ 基底を並べた基底では表現行列が $k_i$ の $z_i$ 倍の表現行列を対角に並べたブロック対角行列になります。トレースは基底によらないので、<Ref to="lem-finite-field-trace" /> の記号 $t_i$（$k_i$ のトレース）で

$$
\mathrm{Tr}(z) \equiv \sum_{i=1}^g t_i(z_i) \pmod p.
$$

ここで $p \mid d_K$ と仮定します。整基底 $\omega_1, \ldots, \omega_n$ について $\mathbb{F}_p$ 上の行列 $(\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j) \bmod p)$ の行列式が $0$ なので、<Ref to="mathematics/linear-algebra/determinants#thm-regular" />（体 $\mathbb{F}_p$ 上）により $0$ でない $\bar c \in \mathbb{F}_p^n$ で $\sum_j \mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j)c_j \equiv 0 \pmod p$（すべての $i$）となるものがあります。$x = \sum_j c_j\omega_j$（$c_j \in \mathbb{Z}$ は持ち上げ）は $x \notin p\mathcal{O}_K$ で、線形性からすべての $y \in \mathcal{O}_K$ について $\mathrm{Tr}(xy) \equiv 0 \pmod p$ です。$\bar x \neq 0$ なので、ある $i$ で $x_i \neq 0$ です。<Ref to="lem-finite-field-trace" /> の 2 から $t_i(x_iw) \neq 0$ となる $w \in k_i$ を取り、<Ref to="lem-crt" /> の全射性で $y \equiv w \pmod{\mathfrak{P}_i}$、$y \equiv 0 \pmod{\mathfrak{P}_j}$（$j \neq i$）となる $y \in \mathcal{O}_K$ を取ると

$$
\mathrm{Tr}(xy) \equiv \sum_j t_j(x_jy_j) = t_i(x_iw) \not\equiv 0 \pmod p
$$

となって矛盾です。よって $p \nmid d_K$ です。最後の主張は、$d_K \neq 0$（<Ref to="thm-integral-basis" /> の 2）の素因数が有限個であることから従います。
</Proof>

<Remark id="rem-unramified-converse" title="逆向きの証明で効いていること">
<Ref to="thm-discriminant-ramified" /> の要は、剰余体 $k_i$ のトレース形式が非退化であること（<Ref to="lem-finite-field-trace" />）です。これは $k_i/\mathbb{F}_p$ が分離拡大であること（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#prop-finite-separable" />）を、相異なる $f$ 個の埋め込み $\sigma_i$ として使ったものです。非分離な拡大ではトレースが恒等的に $0$ になりえます。二次体では次節で両向きを直接確かめます。
</Remark>

## 7. Kummer–Dedekind の判定法

$\theta \in \mathcal{O}_K$ で $K = \mathbb{Q}(\theta)$ のとき、$\theta$ の最小多項式 $f$ は次数 $n$ の $\mathbb{Z}$ 係数モニック多項式で（<Ref to="prop-min-poly-integral" />）、$1, \theta, \ldots, \theta^{n-1}$ は $\mathbb{Q}$ 上一次独立なので $\mathbb{Z}[\theta]$ は $\mathcal{O}_K$ の階数 $n$ の部分群、指数 $[\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\theta]]$ は有限です（<Ref to="thm-integral-basis" /> の 3）。

証明は四つの段に分かれます。(a) $p$ が指数 $[\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\theta]]$ を割らないとき、$\mathcal{O}_K$ と $\mathbb{Z}[\theta]$ は $p$ を法とすれば同じものとみなせること、(b) そのとき剰余環 $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ が $\mathbb{F}_p[x]/(\bar f)$ と同型になること、(c) $\bar f$ の既約因子から素イデアル $\mathfrak{P}_i$ が読み取れること、(d) それらの積が $p\mathcal{O}_K$ になることです。結論として、$p$ の分解の仕方は、$\mathbb{F}_p[x]$ で $\bar f$ を因数分解するだけで分かります。

<Theorem id="thm-kummer-dedekind" title="Kummer–Dedekind の判定法">
$K = \mathbb{Q}(\theta)$、$\theta \in \mathcal{O}_K$、$f$ を $\theta$ の最小多項式とし、素数 $p$ は $[\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\theta]]$ を割らないとする。$\bar f = \prod_{i=1}^g\bar g_i^{e_i}$ を $\mathbb{F}_p[x]$ での相異なるモニック既約多項式への分解とし、$g_i \in \mathbb{Z}[x]$ を $\bar g_i$ のモニックな持ち上げとする。このとき $\mathfrak{P}_i := p\mathcal{O}_K + g_i(\theta)\mathcal{O}_K$ は相異なる素イデアルで、$f(\mathfrak{P}_i \mid p) = \deg g_i$、かつ
$$
p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{P}_g^{e_g}.
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-kummer-dedekind">
**(a) $\mathbb{Z}[\theta] \cap p\mathcal{O}_K = p\mathbb{Z}[\theta]$。** $m = [\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\theta]]$ とすると $m\mathcal{O}_K \subseteq \mathbb{Z}[\theta]$ です（<Ref to="mathematics/algebra/subgroups-and-lagrange#cor-element-order" />）。$p\beta \in \mathbb{Z}[\theta]$（$\beta \in \mathcal{O}_K$）なら、$1 = um + vp$ と書いて $\beta = u(m\beta) + v(p\beta) \in \mathbb{Z}[\theta]$。よって $\mathbb{Z}[\theta]/p\mathbb{Z}[\theta] \to \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ は単射で、両辺とも $p^n$ 元なので全単射、すなわち $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\theta] + p\mathcal{O}_K$ です。

**(b) $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \cong \mathbb{F}_p[x]/(\bar f)$。** $h \in \mathbb{Z}[x]$ が $h(\theta) = 0$ を満たせば、モニックな $f$ で割った余り $r$（$\mathbb{Z}$ 係数、次数 $\lt n$）も $r(\theta) = 0$ なので $r = 0$、つまり $h \in f\mathbb{Z}[x]$ です。$\Phi : \mathbb{Z}[x] \to \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$、$h \mapsto h(\theta) \bmod p$ は (a) により全射で、$h(\theta) \in p\mathcal{O}_K$ ⇔ $h(\theta) = pk(\theta)$（$k \in \mathbb{Z}[x]$、(a)）⇔ $h \in (p, f)$ です。$\mathbb{Z}[x]/(p, f) \cong \mathbb{F}_p[x]/(\bar f)$ なので、同型 $\rho : \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \to \mathbb{F}_p[x]/(\bar f)$、$h(\theta) \mapsto \bar h$ を得ます。

**(c) $\mathfrak{P}_i$ は素イデアルで $f = \deg g_i$。** $\bar g_i \mid \bar f$ なので、$\pi_i : \mathcal{O}_K \to \mathbb{F}_p[x]/(\bar f) \to \mathbb{F}_p[x]/(\bar g_i)$ は全射な環準同型です。$\beta \equiv h(\theta) \pmod p$ について、$\pi_i(\beta) = 0$ ⇔ $\bar g_i \mid \bar h$ ⇔ $h \equiv g_ik \pmod p$ となる $k$ がある、なので $\ker\pi_i = p\mathcal{O}_K + g_i(\theta)\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}_i$。$\mathbb{F}_p[x]/(\bar g_i)$ は $p^{\deg g_i}$ 元の体なので（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#lem-pid-irreducible" />）、$\mathfrak{P}_i$ は極大イデアルで剰余次数は $\deg g_i$ です。$i \neq j$ で $\mathfrak{P}_i = \mathfrak{P}_j$ なら $\pi_i(g_j(\theta)) = 0$、すなわち $\bar g_i \mid \bar g_j$ となり、相異なるモニック既約多項式であることに反します。

**(d) 分解。** $\prod_i g_i^{e_i} - f \in p\mathbb{Z}[x]$ なので $\prod_i g_i(\theta)^{e_i} \in p\mathcal{O}_K$。$p$ の上の素イデアル $\mathfrak{P}$ はこの積を含むので、ある $g_i(\theta)$ を含み、$\mathfrak{P} \supseteq \mathfrak{P}_i$、極大性から $\mathfrak{P} = \mathfrak{P}_i$ です。さらに $\prod_i\mathfrak{P}_i^{e_i}$ を展開すると、各項は $p$ か $\prod_i g_i(\theta)^{e_i}$ の倍数なので $\prod_i\mathfrak{P}_i^{e_i} \subseteq p\mathcal{O}_K$、<Ref to="thm-fractional-group" /> の 4 から $p\mathcal{O}_K = \prod_i\mathfrak{P}_i^{a_i}$、$1 \le a_i \le e_i$ と書けます。<Ref to="thm-sum-ef" /> より $n = \sum_i a_i\deg g_i \le \sum_i e_i\deg g_i = \deg\bar f = n$ なので、すべての $i$ で $a_i = e_i$ です。
</Proof>

指数の条件を外すと結論は成り立たないことがあり、指数を割る素数では別の $\theta$ を選び直す必要があります。

## 8. 二次体

$m \neq 0, 1$ を平方因子を持たない整数とし、$K = \mathbb{Q}(\sqrt m)$（$n = 2$）とします。埋め込みは $\sqrt m \mapsto \pm\sqrt m$ の 2 つです。

<Proposition id="prop-quadratic-integers" title="二次体の整数環と判別式">
$m \equiv 2, 3 \pmod 4$ ならば $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt m]$、$d_K = 4m$。$m \equiv 1 \pmod 4$ ならば $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}\bigl[\tfrac{1+\sqrt m}{2}\bigr]$、$d_K = m$。
</Proposition>

<Proof of="prop-quadratic-integers">
$\alpha = a + b\sqrt m$（$a, b \in \mathbb{Q}$、$b \neq 0$）の最小多項式は $x^2 - 2ax + (a^2 - mb^2)$ なので、<Ref to="prop-min-poly-integral" /> から $\alpha \in \mathcal{O}_K$ ⇔ $A := 2a \in \mathbb{Z}$ かつ $a^2 - mb^2 \in \mathbb{Z}$ です（$b = 0$ のときは <Ref to="thm-ring-of-integers" /> の 3 から $a \in \mathbb{Z}$）。$B := 2b$ とおくと $A^2 - mB^2 \in 4\mathbb{Z}$ なので $mB^2 \in \mathbb{Z}$。$B = u/v$（既約、$v \ge 1$）なら $v^2 \mid mu^2$ から $v^2 \mid m$、$m$ は平方因子を持たないので $v = 1$、$B \in \mathbb{Z}$ です。平方数は法 $4$ で $0$ か $1$ なので、$A^2 \equiv mB^2 \pmod 4$ は、$m \equiv 2, 3$ のとき $A, B$ がともに偶数（$a, b \in \mathbb{Z}$）であることと、$m \equiv 1$ のとき $A \equiv B \pmod 2$ であることと同値です。後者の全体は $\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\frac{1+\sqrt m}{2}$ です。

判別式は <Ref to="prop-trace-norm" /> の 4 の $(\det\Omega)^2$ で計算します。基底 $1, \omega$ について $\det\Omega = \omega' - \omega$（$\omega'$ は共役）で、$\omega = \sqrt m$ なら $(-2\sqrt m)^2 = 4m$、$\omega = \frac{1+\sqrt m}2$ なら $(-\sqrt m)^2 = m$ です。
</Proof>

<Proposition id="prop-quadratic-splitting" title="二次体での素数の分解">
$K = \mathbb{Q}(\sqrt m)$ と素数 $p$ について次が成り立つ。

1. $p \mid d_K$ ならば $p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}^2$（分岐）。
2. $p$ が奇素数で $p \nmid m$ のとき、$\left(\frac mp\right) = 1$ なら $p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}\mathfrak{P}'$（$\mathfrak{P} \neq \mathfrak{P}'$、$f = 1$：**分解**）、$\left(\frac mp\right) = -1$ なら $p\mathcal{O}_K$ は素イデアル（$f = 2$：**惰性**）。
3. $m \equiv 1 \pmod 4$ のとき、$2$ は $m \equiv 1 \pmod 8$ なら分解し、$m \equiv 5 \pmod 8$ なら惰性である。

特に、$p$ が分岐することと $p \mid d_K$ は同値である。
</Proposition>

<Proof of="prop-quadratic-splitting">
<Ref to="prop-quadratic-integers" /> により $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\omega]$ なので、指数は $1$ で <Ref to="thm-kummer-dedekind" /> がすべての $p$ に使えます。$m \equiv 2, 3 \pmod 4$ では $f = x^2 - m$ です。$p \mid m$ なら $\bar f = x^2$、$p = 2$ かつ $m \equiv 3$ なら $\bar f = x^2 - 1 = (x + 1)^2$ で、どちらも平方なので分岐します。$p$ が奇素数で $p \nmid m$ なら、$\bar f$ は $m$ が平方剰余のとき相異なる 2 根 $\pm r$（$r \not\equiv -r$）を持ち、平方非剰余のとき 2 次の既約多項式です（<Ref to="mathematics/number-theory/quadratic-reciprocity#def-legendre" />）。$m \equiv 1 \pmod 4$ では $f = x^2 - x - \frac{m-1}{4}$ で、$4f(x) = (2x - 1)^2 - m$ です。$p$ が奇素数なら $x \mapsto 2x - 1$ は $\mathbb{F}_p[x]$ の変数変換なので、$\bar f$ の分解の型は $x^2 - m$ と同じで、上と同じ結論になります（$p \mid m$ なら分岐）。$p = 2$ では $\bar f = x^2 + x + \frac{m-1}{4}$ で、$m \equiv 1 \pmod 8$ なら $x(x+1)$、$m \equiv 5 \pmod 8$ なら $x^2 + x + 1$（$\mathbb{F}_2$ に根がないので既約）です。$d_K = 4m$ または $m$ の素因数は、$m$ の素因数と（$m \equiv 2, 3$ のとき）$2$ なので、最後の主張が従います。
</Proof>

<Figure caption="Q(i) での素数 2, 3, 5 の分解。左から分岐 (1+i)²、惰性 (3)、分解 (2+i)(2−i)">
<svg viewBox="0 0 460 210" width="100%" role="img" aria-label="下段の素数 2, 3, 5 から上段の素イデアルへ線が伸びる図。2 は 1 本で e=2、3 は 1 本で f=2、5 は 2 本で各 e=1, f=1">
  <text x="6" y="45" font-size="12" fill="currentColor">O_K</text>
  <text x="6" y="155" font-size="12" fill="currentColor">Z</text>
  <circle cx="90" cy="40" r="6" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="90" cy="150" r="6" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <line x1="90" y1="144" x2="90" y2="46" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <text x="70" y="22" font-size="12" fill="currentColor">(1+i)</text>
  <text x="98" y="100" font-size="12" fill="currentColor">e=2, f=1</text>
  <text x="84" y="170" font-size="12" fill="currentColor">2</text>
  <text x="62" y="195" font-size="12" fill="currentColor">分岐</text>
  <circle cx="230" cy="40" r="6" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="230" cy="150" r="6" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <line x1="230" y1="144" x2="230" y2="46" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <text x="218" y="22" font-size="12" fill="currentColor">(3)</text>
  <text x="238" y="100" font-size="12" fill="currentColor">e=1, f=2</text>
  <text x="224" y="170" font-size="12" fill="currentColor">3</text>
  <text x="202" y="195" font-size="12" fill="currentColor">惰性</text>
  <circle cx="350" cy="40" r="6" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="410" cy="40" r="6" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="380" cy="150" r="6" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <line x1="380" y1="144" x2="350" y2="46" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <line x1="380" y1="144" x2="410" y2="46" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <text x="326" y="22" font-size="12" fill="currentColor">(2+i)</text>
  <text x="386" y="22" font-size="12" fill="currentColor">(2−i)</text>
  <text x="374" y="170" font-size="12" fill="currentColor">5</text>
  <text x="352" y="195" font-size="12" fill="currentColor">分解</text>
</svg>
</Figure>

<Example id="ex-sqrt-minus5" title="Q(√−5) で 6 の分解を直す">
$m = -5 \equiv 3 \pmod 4$ なので $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$、$d_K = -20$ です。$x^2 + 5 \equiv (x+1)^2 \pmod 2$ から $(2) = \mathfrak{p}^2$、$\mathfrak{p} = (2, 1 + \sqrt{-5})$。$x^2 + 5 \equiv (x - 1)(x + 1) \pmod 3$ から $(3) = \mathfrak{q}\mathfrak{q}'$、$\mathfrak{q} = (3, 1 + \sqrt{-5})$、$\mathfrak{q}' = (3, 1 - \sqrt{-5})$。$5$ は $x^2$ で分岐、$7$ は $\left(\frac{-5}{7}\right) = \left(\frac{2}{7}\right) = 1$ で分解します。

$1 + \sqrt{-5}$ は相異なる素イデアル $\mathfrak{p}$、$\mathfrak{q}$ に含まれるので $\mathfrak{p}\mathfrak{q} \mid (1+\sqrt{-5})$（<Ref to="thm-fractional-group" /> の 4）、ノルムは $N\mathfrak{p}\,N\mathfrak{q} = 2 \cdot 3 = 6 = N(1+\sqrt{-5})$ なので（<Ref to="prop-ideal-norm" /> の 3）$(1 + \sqrt{-5}) = \mathfrak{p}\mathfrak{q}$、同様に $(1 - \sqrt{-5}) = \mathfrak{p}\mathfrak{q}'$ です。よって
$$
(6) = (2)(3) = \mathfrak{p}^2\,\mathfrak{q}\mathfrak{q}' = (\mathfrak{p}\mathfrak{q})(\mathfrak{p}\mathfrak{q}') = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})
$$
です。一方、元としては $2$ は既約です：$2 = \alpha\beta$ で $\alpha, \beta$ が単数でなければ $N(\alpha) = 2$、すなわち $a^2 + 5b^2 = 2$ が整数解を持つ必要がありますが、ありません。$3$、$1 \pm \sqrt{-5}$ も同様に（$a^2 + 5b^2 = 2, 3$ が解を持たないことから）既約です。$\mathfrak{p}$ が単項でないこともこの計算からわかり、類群が自明でないことを示しています。
</Example>

## 9. 演習

<Exercise id="exr-gaussian-splitting" difficulty="易">
$K = \mathbb{Q}(i)$ とする。<Ref to="prop-quadratic-splitting" /> を使って $2, 3, 5$ の分解の型を決め、$(2) = (1+i)^2$、$(5) = (2+i)(2-i)$ を確かめよ。また奇素数 $p$ が分解することと $p \equiv 1 \pmod 4$ が同値であることを示せ。
<Solution>
$m = -1 \equiv 3 \pmod 4$ なので $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[i]$、$d_K = -4$ です。$2 \mid d_K$ なので分岐し、$(1+i)^2 = 2i$ で $i$ は単数なので $(2) = (1+i)^2$。$\left(\frac{-1}{3}\right) = -1$ なので $3$ は惰性。$\left(\frac{-1}{5}\right) = 1$（$2^2 \equiv -1$）なので $5$ は分解し、$(2+i)(2-i) = 5$、$N(2 \pm i) = 5$ なので $(2 \pm i)$ はノルム $5$ の素イデアルです（ノルムが素数のイデアルは <Ref to="prop-ideal-norm" /> の 3 から素イデアル）。最後に、オイラーの規準 <Ref to="mathematics/number-theory/quadratic-reciprocity#thm-euler-criterion" /> から $\left(\frac{-1}{p}\right) \equiv (-1)^{(p-1)/2} \pmod p$ なので、$\left(\frac{-1}{p}\right) = 1$ ⇔ $p \equiv 1 \pmod 4$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-p-squared" difficulty="易">
$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ で、$\mathfrak{p} = (2, 1+\sqrt{-5})$ について $\mathfrak{p}^2 = (2)$ を生成元の計算で直接確かめよ。
<Solution>
$\mathfrak{p}^2$ は $4$、$2(1 + \sqrt{-5})$、$(1+\sqrt{-5})^2 = -4 + 2\sqrt{-5}$ で生成されます。どれも $2$ の倍数なので $\mathfrak{p}^2 = 2\mathfrak{c}$、$\mathfrak{c} = (2, 1 + \sqrt{-5}, -2 + \sqrt{-5})$。$\mathfrak{c}$ は $(1 + \sqrt{-5}) - (-2 + \sqrt{-5}) = 3$ と $2$ を含むので $1$ を含み、$\mathfrak{c} = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ です。よって $\mathfrak{p}^2 = (2)$。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-cube-root-two" difficulty="標準">
$\theta = \sqrt[3]{2}$、$K = \mathbb{Q}(\theta)$ とする。

1. $\mathrm{Tr}(\theta^k)$（$0 \le k \le 4$）を求め、$d(1, \theta, \theta^2) = -108$ を示せ。
2. $[\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\theta]]$ が $6$ を割ることを示せ。
3. $5$ と $7$ の $K$ での分解の型（$e_i$、$f_i$）を決めよ。
<Solution>
1. 埋め込みは $\theta \mapsto \theta, \theta\omega, \theta\omega^2$（$\omega$ は 1 の原始 3 乗根）です。$1 + \omega + \omega^2 = 0$ から $\mathrm{Tr}(\theta) = \mathrm{Tr}(\theta^2) = 0$、$\mathrm{Tr}(1) = 3$、$\mathrm{Tr}(\theta^3) = \mathrm{Tr}(2) = 6$、$\mathrm{Tr}(\theta^4) = 2\,\mathrm{Tr}(\theta) = 0$。グラム行列は
$$
\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 6 & 0 \end{pmatrix}
$$
で、行列式は $3 \cdot (0 - 36) = -108$ です。

2. <Ref to="thm-integral-basis" /> の 3 から $-108 = [\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\theta]]^2 d_K$。$108 = 2^2 \cdot 3^3$ なので指数の 2 乗は $2^2 \cdot 3^2$ を割り、指数は $6$ を割ります。

3. $5, 7$ は指数を割らないので <Ref to="thm-kummer-dedekind" /> が使えます。法 $5$ で $3^3 = 27 \equiv 2$ なので $x^3 - 2 = (x - 3)(x^2 + 3x + 4)$ で、2 次因子の判別式 $9 - 16 \equiv 3$ は法 $5$ の平方数（$0, 1, 4$）でないので既約です。よって $(5) = \mathfrak{P}_1\mathfrak{P}_2$、$f_1 = 1$、$f_2 = 2$、$e_i = 1$。法 $7$ の立方数は $0, \pm1$ なので $x^3 - 2$ は根を持たず、3 次なので既約、$7$ は惰性（$e = 1$、$f = 3$）です。どちらも $\sum e_if_i = 3$ を満たします。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

1. J. Neukirch, *Algebraic Number Theory*, Springer, 1999 — 第 I 章 §2〜§8（整数環、Dedekind 整域、素イデアルの分解）、第 III 章 §2（判別式と分岐）。
2. D. A. Marcus, *Number Fields*, Universitext, Springer, 1977 — 第 2・3 章（整数環、イデアルの分解、Kummer–Dedekind の判定法）。
3. P. Samuel, *Algebraic Theory of Numbers*, Hermann, 1970 — 第 2〜5 章。
4. K. Ireland and M. Rosen, *A Classical Introduction to Modern Number Theory*, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 84, Springer, 1990 — 第 12 章（代数的整数論の基礎）。
5. 高木貞治『代数的整数論 第 2 版』岩波書店、1971 — イデアル論。