Noether 加群・Artin 加群

$A$ 加群 $M$ が Noether 加群であるとは、部分加群の昇鎖 $M_1 \subseteq M_2 \subseteq \cdots$ がつねに止まる（ある $n$ 以降 $M_n = M_{n+1} = \cdots$）ことをいう。部分加群の降鎖 $M_1 \supseteq M_2 \supseteq \cdots$ がつねに止まるとき Artin 加群という。環 $A$ が Artin 環であるとは、$A$ が $A$ 加群として Artin 加群であること、すなわちイデアルの降鎖がつねに止まることをいう。