数学 › 可換環論 › 離散付値環と Dedekind 環

付値環・値群・付値

定義 2.1（「離散付値環と Dedekind 環」§2）

  1. KK を体とする。KK の部分環 AA が KK の付値環であるとは、00 でない任意の x∈Kx \in K について x∈Ax \in A または x−1∈Ax^{-1} \in A が成り立つことをいう。このとき Frac⁡A=K\operatorname{Frac} A = K である。整域 AA が Frac⁡A\operatorname{Frac} A の付値環であるとき、単に付値環という。
  2. Γ\Gamma を全順序アーベル群（加法的に書き、α≤β\alpha \le \beta なら α+γ≤β+γ\alpha + \gamma \le \beta + \gamma を満たすもの）とする。全射な群準同型 v ⁣:K×→Γv \colon K^{\times} \to \Gamma で、x,y,x+y∈K×x, y, x + y \in K^{\times} について v(x+y)≥min⁡(v(x),v(y))v(x + y) \ge \min\bigl(v(x), v(y)\bigr) を満たすものを、KK の付値、Γ\Gamma をその値群という。v(0)=∞v(0) = \infty（どの元よりも大きい記号）と約束し、Av={x∈K:v(x)≥0}A_v = \{ x \in K : v(x) \ge 0 \} を vv の付値環と呼ぶ。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。