導手と局所化

$A \subseteq B$ を環の拡大、$\mathfrak{f}$ を導手とする。素イデアル $\mathfrak{p}$ について $S = A \setminus \mathfrak{p}$、$A_{\mathfrak{p}} = S^{-1}A$、$B_{\mathfrak{p}} = S^{-1}B$ とおく。

1. $\mathfrak{f}$ は $A$ に含まれる $B$ のイデアルのうち最大のものである。とくに $\mathfrak{f}$ は $A$ のイデアルでもある。
2. $\mathfrak{f} \not\subseteq \mathfrak{p}$ なら、$A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ は同型である。
3. $B$ が有限生成 $A$ 加群なら、(2) の逆も成り立つ。すなわち $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ が全射なら $\mathfrak{f} \not\subseteq \mathfrak{p}$ である。
4. $A$ を Noether 整域、$B$ を $\operatorname{Frac} A$ における $A$ の整閉包とし、$B$ が有限生成 $A$ 加群であるとする。このとき $\mathfrak{f} \ne 0$ であり、素イデアル $\mathfrak{p}$ について、$A_{\mathfrak{p}}$ が整閉であることと $\mathfrak{f} \not\subseteq \mathfrak{p}$ は同値である。とくに $A_{\mathfrak{p}}$ が整閉でない $\mathfrak{p}$ の全体は、$\operatorname{Spec} A$ の閉集合 $V(\mathfrak{f})$ で、$(0)$ を含まない。