可逆イデアル・イデアル類群・Picard 群

$A$ を整域、$K = \operatorname{Frac} A$ とする。

1. $K$ の $0$ でない $A$ 部分加群 $I$ で、$0$ でないある $d \in A$ について $dI \subseteq A$ となるものを分数イデアルという。分数イデアル $I, J$ の積 $IJ$ は $xy$（$x \in I$、$y \in J$）の有限和の全体、$(A : I) = \{ x \in K : xI \subseteq A \}$ とする。
2. 分数イデアル $I$ が可逆であるとは、分数イデアル $J$ で $IJ = A$ となるものがあることをいう。可逆な分数イデアルの全体を $\operatorname{Inv}(A)$、単項分数イデアル $xA$（$x \in K^{\times}$）の全体を $\operatorname{Prin}(A)$ と書き、$\operatorname{Cl}(A) = \operatorname{Inv}(A)/\operatorname{Prin}(A)$ を $A$ のイデアル類群という。
3. 有限生成射影 $A$ 加群 $P$ で、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ で階数（定義 5.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）が $1$ のものの同型類の全体を $\operatorname{Pic}(A)$ と書き、テンソル積 $[P][Q] = [P \otimes_A Q]$ を演算として Picard 群という（群になることは 系 4.4 で示す）。