二重双対の自然性

命題 5.7（「圏・関手・自然変換」§5）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を体とする。

有限次元ベクトル空間 $V$ について $\iota_V : V \to V^{**}$ 、 $\iota_V(v)(f) = f(v)$ は自然同型 $\iota : \mathrm{Id} \Rightarrow (-)^{**}$ （ $\mathsf{fdVect}_k$ 上の関手の間）を与える。
有限次元ベクトル空間と線形同型からなる亜群を $\mathcal{G}$ とし、関手 $D : \mathcal{G} \to \mathcal{G}$ を $D(V) = V^{*}$ 、 $D(T) = (T^{t})^{-1}$ で定める。このとき自然同型 $\mathrm{Id}_{\mathcal{G}} \Rightarrow D$ は存在しない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

二重双対空間との自然な同型✓定理 2.5・双対空間と商空間
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
    生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間
  - 座標同型と、基底による線形写像の決定✓命題 2.1・行列と連立一次方程式
- 有限次元での単射・全射・全単射の一致✓系 7.5・ベクトル空間と線形変換
  - 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換
    部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
  - 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
    核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
転置写像定義 3.1・双対空間と商空間
自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

二重双対の自然性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）