mono・epi・同型・切断・レトラクション

圏 $\mathcal{C}$ の射 $f : X \to Y$ について次のように定める。

1. 任意の対象 $W$ と射 $g, h : W \to X$ について $f \circ g = f \circ h \Rightarrow g = h$ が成り立つとき、$f$ を単射的射（mono）という。
2. 任意の対象 $Z$ と射 $g, h : Y \to Z$ について $g \circ f = h \circ f \Rightarrow g = h$ が成り立つとき、$f$ を全射的射（epi）という。
3. $g \circ f = \mathrm{id}_X$、$f \circ g = \mathrm{id}_Y$ となる $g : Y \to X$ があるとき、$f$ を同型という。このとき $X \cong Y$ と書く。
4. $r \circ f = \mathrm{id}_X$ となる $r : Y \to X$ があるとき、$f$ を切断、$r$ をレトラクションという。