Proj

次数環 $S$ の斉次素イデアル $\mathfrak{p}$ で $S_+ \not\subseteq \mathfrak{p}$ となるものの全体を $\operatorname{Proj} S$ と書き、$\operatorname{Spec} S$ の部分空間としての位相を入れる。斉次元 $f$ に対し $D_+(f) = \{ \mathfrak{p} \in \operatorname{Proj} S : f \notin \mathfrak{p} \}$ とおく。

• 斉次元 $f$ について、$S_f$ は $\deg(x/f^n) = \deg x - n\deg f$ により $\mathbb{Z}$ で次数づけられる。その $0$ 次の元のなす部分環を $S_{(f)}$ と書く。
• $\mathfrak{p} \in \operatorname{Proj} S$ について、$S_{\mathfrak{p}}$ の部分環 $S_{(\mathfrak{p})} = \{ a/b : a, b \text{ は同じ次数の斉次元},\ b \notin \mathfrak{p} \}$ を考える。
• 開集合 $U \subseteq \operatorname{Proj} S$ に対し、族 $(s_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{p} \in U} \in \prod_{\mathfrak{p} \in U} S_{(\mathfrak{p})}$ で、各点 $\mathfrak{p} \in U$ に開近傍 $W \subseteq U$ と同じ次数の斉次元 $a, b$ があって、すべての $\mathfrak{q} \in W$ で $b \notin \mathfrak{q}$ かつ $s_{\mathfrak{q}} = a/b$ となるものの全体を $\mathcal{O}(U)$ とする。成分ごとの演算と族の制限により、$\mathcal{O}$ は $\operatorname{Proj} S$ 上の環の層である（条件が各点の近傍についてのものなので、局所性と貼り合わせが成り立つ）。

$A$ を環とする。$S = A[x_0, \ldots, x_n]$（各 $x_i$ は $1$ 次）のとき $\mathbb{P}^n_A = \operatorname{Proj} S$ と書き、$A$ 上の $n$ 次元射影空間という。$\mathbb{A}^n_A = \operatorname{Spec} A[x_1, \ldots, x_n]$ を $A$ 上の $n$ 次元アフィン空間という。