局所環付き空間とその射

1. 環付き空間 $(X, \mathcal{O}_X)$（定義 2.3［層］）のすべての茎 $\mathcal{O}_{X,x}$ が局所環（定義 3.8［局所化と素イデアルのスペクトル］）であるとき、局所環付き空間という。$\mathcal{O}_{X,x}$ の極大イデアルを $\mathfrak{m}_x$、剰余体を $\kappa(x) = \mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x$ と書く。開集合 $U \ni x$ 上の切断 $s$ の芽 $s_x$ の $\kappa(x)$ での像を $s(x)$ と書き、$s$ の $x$ での値という。
2. 環付き空間の射 $(f, f^\#)\colon (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)$ とは、連続写像 $f\colon X \to Y$ と環の層の射 $f^\#\colon \mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X$ の組をいう。$x \in X$ に対し、$f^\#$ は茎の準同型

を定める。合成は $(g, g^\#) \circ (f, f^\#) = (g \circ f,\ g_*(f^\#) \circ g^\#)$ とする。 3. 局所環付き空間の間の環付き空間の射 $(f, f^\#)$ が、すべての $x$ で $f^\#_x$ が局所準同型（$f^\#_x(\mathfrak{m}_{f(x)}) \subseteq \mathfrak{m}_x$）であるとき、局所環付き空間の射という。このとき $f^\#_x$ は体の準同型 $\kappa(f(x)) \to \kappa(x)$ を誘導する。 4. 局所環付き空間 $X$ の開集合 $U$ に対し、$(U, \mathcal{O}_X|_U)$ は局所環付き空間で、包含は局所環付き空間の射である。これを開部分空間という。