アフィンスキーム・スキーム

定義 3.3（「アフィンスキームとスキーム」§3）

環 $A$ に対し、局所環付き空間 $(\operatorname{Spec} A, \mathcal{O}_{\operatorname{Spec} A})$ を単に $\operatorname{Spec} A$ と書く。ある環 $A$ について $\operatorname{Spec} A$ と同型な局所環付き空間をアフィンスキームという。
局所環付き空間 $X$ がスキームであるとは、開被覆 $X = \bigcup_i U_i$ で、各開部分空間 $(U_i, \mathcal{O}_X|_{U_i})$ がアフィンスキームであるものが存在することをいう。アフィンスキームである開部分空間を $X$ のアフィン開集合という。スキームの射は局所環付き空間の射とし、スキームの圏を $\mathsf{Sch}$ と書く。
スキーム $S$ を固定する。スキーム $X$ と射 $X \to S$ （構造射）の組を $S$ 上のスキーム（ $S$ スキーム）といい、構造射と両立する射を $S$ 上の射という。 $S = \operatorname{Spec} R$ のとき $R$ 上のスキームともいう。
スキーム $X$ 、 $T$ に対し、射 $T \to X$ の全体を $X(T)$ と書き、その元を $X$ の $T$ 値点という。 $T = \operatorname{Spec} A$ のとき $X(A)$ とも書く。
スキーム $X$ の点 $x, y$ について、 $y \in \overline{\{x\}}$ のとき $y$ は $x$ の特殊化である（ $x$ は $y$ の一般化である）といい、 $x \rightsquigarrow y$ と書く。閉集合 $Z$ の点 $\eta$ で $\overline{\{\eta\}} = Z$ となるものを $Z$ の生成点という。 $\{x\}$ が閉集合である点 $x$ を閉点という。

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閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。