準コンパクト・アフィン・局所有限型・有限型・有限な射

$f\colon X \to Y$ をスキームの射とする。次の各性質を、「$Y$ のアフィン開集合 $V_i = \operatorname{Spec} B_i$ による被覆で、すべての $i$ について条件が成り立つものが存在する」ことで定める。

1. 準コンパクト: $f^{-1}(V_i)$ は準コンパクト。
2. アフィン: $f^{-1}(V_i)$ はアフィンスキーム。
3. 局所有限型: $f^{-1}(V_i)$ はアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A_{ij}$ で、各 $A_{ij}$ が有限生成 $B_i$ 代数（定義 2.2［整拡大］）であるもので覆える。
4. 有限型: 局所有限型かつ準コンパクト。
5. 有限: $f^{-1}(V_i) = \operatorname{Spec} A_i$ はアフィンスキームで、$A_i$ は $B_i$ 加群として有限生成。

環 $R$（体 $k$）について、$\operatorname{Spec} R$ への構造射が有限型のとき、$X$ を $R$ 上（$k$ 上）有限型のスキームという。