ファイバー積・底変換・ファイバー

スキームの射 $f\colon X \to S$、$g\colon Y \to S$ に対し、スキームの圏での引き戻し（定義 2.4［極限と余極限］）をファイバー積といい $X \times_S Y$ と書く。すなわち、射 $p_1\colon X \times_S Y \to X$、$p_2\colon X \times_S Y \to Y$ で $f p_1 = g p_2$ を満たし、$f a = g b$ となる任意の射 $a\colon T \to X$、$b\colon T \to Y$ に対して $p_1\theta = a$、$p_2\theta = b$ となる射 $\theta\colon T \to X \times_S Y$ がただ一つ存在するものである。$S = \operatorname{Spec} R$ のとき $X \times_R Y$ とも書く。

1. $p_2\colon X \times_S Y \to Y$ を、$f$ の $g$ による底変換という。射の性質 $P$ について、$f$ が $P$ をもてば任意の底変換も $P$ をもつとき、$P$ は底変換で保たれるという。
2. $f\colon X \to Y$ と点 $y \in Y$ に対し、標準射 $\operatorname{Spec}\kappa(y) \to Y$（命題 7.2［アフィンスキームとスキーム］）によるファイバー積 $X_y = X \times_Y \operatorname{Spec}\kappa(y)$ を $y$ の上のファイバーという。代数閉体 $K$ と射 $\operatorname{Spec} K \to Y$ によるファイバー積 $X \times_Y \operatorname{Spec} K$ を幾何的ファイバーという。