支配的な射・有理写像・双有理写像

$X, Y$ を整スキームとする。

1. 射 $f\colon X \to Y$ の像が $Y$ で稠密であるとき、$f$ は支配的であるという。
2. 空でない開集合 $U \subseteq X$ と射 $f\colon U \to Y$ の組 $(U, f)$ の全体に、「空でない開集合 $W \subseteq U \cap U'$ の上で $f|_W = f'|_W$」という関係を入れる。$X$ は既約なので空でない開集合は交わり、これは同値関係である。同値類を $X$ から $Y$ への有理写像といい、$X \dashrightarrow Y$ と書く。代表元の一つ（したがってすべて）が支配的なとき、有理写像は支配的であるという。
3. 支配的な有理写像 $\phi = (U, f)\colon X \dashrightarrow Y$、$\psi = (V, g)\colon Y \dashrightarrow Z$ の合成を $(f^{-1}(V), g \circ f)$ の類と定める（$f^{-1}(V)$ は $X$ の生成点を含むので空でない）。支配的な有理写像 $\phi$ に、$\psi \circ \phi = \mathrm{id}_X$、$\phi \circ \psi = \mathrm{id}_Y$（有理写像として）となる支配的な有理写像 $\psi$ があるとき、$\phi$ を双有理写像といい、$X$ と $Y$ は双有理同値であるという。

$X, Y$ が体 $k$ 上のスキームのときは、射をすべて $k$ 上の射に限って同じ定義をする。