特異コホモロジー

位相空間 $X$ に対し、$C^n(X;G)=\operatorname{Hom}(C_n(X),G)$ の元を $n$ コチェインという。余境界作用素 $\delta:C^n(X;G)\to C^{n+1}(X;G)$ を $\delta\varphi=\varphi\circ\partial$ で定めると $\delta\delta=0$ で、

を $G$ 係数の $n$ 次特異コホモロジー群という。一般に、自由アーベル群の鎖複体 $C_*$ に対して $\operatorname{Hom}(C_*,G)$ のコホモロジーを $H^n(C;G)$ と書く。連続写像 $f:X\to Y$ は $f^*=(f_\sharp)^*:C^n(Y;G)\to C^n(X;G)$ を与え、$\delta f^*=f^*\delta$ なので $f^*:H^n(Y;G)\to H^n(X;G)$ を誘導する（向きが逆になる）。