ベクトル束の直和・テンソル積・双対

$E,E'$ を $M$ 上の階数 $r,r'$ の $\mathbb{K}$ ベクトル束とする。$M$ の開被覆 $\{U_\alpha\}$ を、各 $U_\alpha$ 上で $E$ と $E'$ の両方が局所自明化 $\Phi_\alpha,\Phi'_\alpha$ を持つように取り、変換関数を $g_{\alpha\beta},g'_{\alpha\beta}$ とする。

1. 直和（Whitney 和）$E\oplus E'$：ファイバーが $E_x\oplus E'_x$、変換関数が $g_{\alpha\beta}\oplus g'_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}g_{\alpha\beta}&0\\0&g'_{\alpha\beta}\end{pmatrix}$ の階数 $r+r'$ のベクトル束。
2. テンソル積 $E\otimes E'$：ファイバーが $E_x\otimes E'_x$、変換関数が $g_{\alpha\beta}\otimes g'_{\alpha\beta}$（Kronecker 積）の階数 $rr'$ のベクトル束。
3. 双対 $E^*$：ファイバーが $E_x^*$、変換関数が $(g_{\alpha\beta}^{\mathsf{T}})^{-1}$ の階数 $r$ のベクトル束。