Hermite 計量・基本形式・Kähler 計量

$X$ を $n$ 次元複素多様体、$J$ をその概複素構造とする。$X$ の Riemann 計量 $g$（定義 3.1［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］）が $g(Ju,Jv)=g(u,v)$ を満たすとき Hermite 計量といい、$(X,g)$ を Hermite 多様体という。実 $(1,1)$ 形式 $\omega(u,v)=g(Ju,v)$ を基本形式という。正則座標 $(z_1,\dots,z_n)$ について $h_{j\bar k}=h(\partial/\partial x_j,\partial/\partial x_k)$（$h=g-i\omega$）とおく。

$d\omega=0$ のとき $g$ を Kähler 計量、$\omega$ を Kähler 形式、de Rham 類 $[\omega]\in H^2_{\mathrm{dR}}(X)$ を Kähler 類といい、Kähler 計量をもつ複素多様体を Kähler 多様体という。