タグ: 多様体

← タグ一覧

• ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分本ベクトル場を接バンドルの切断として定義し、余接バンドルから k 次微分形式と外積代数を構成する。外微分 d の存在と一意性を公理から証明し、d∘d=0 が grad・rot・div の恒等式を統一することを示す。数学多様体論修士多様体微分形式外微分外積代数接バンドル約 25 分
• 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む局所的にユークリッド空間と同一視できる空間で微分を語るために、チャート・座標変換・極大アトラスを厳密に導入する。球面・実射影空間・トーラスのアトラスを具体的に構成し、多様体上の C^k 級関数と多様体間の C^k 級写像までを定義する。数学多様体論修士多様体チャートアトラス微分可能構造射影空間約 41 分
• ストークスの定理：微分と境界の双対性本向き付け可能な多様体と境界付き多様体を定義し、1 の分割で積分を構成して一般化ストークスの定理を証明する。微分積分学の基本定理・グリーン・ガウス・ストークスがすべてその特別な場合であることを確かめる。数学多様体論修士多様体微分形式積分向き付けストークスの定理約 41 分
• 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀多様体上の接ベクトル空間を、曲線の同値類・座標成分の変換則・導分という三つの流儀で構成し、Hadamard の補題を用いて三者が自然に同型であることを証明する。さらに写像の微分と連鎖律、接バンドルが 2n 次元多様体になることまで示す。数学多様体論修士多様体接ベクトル空間接バンドル微分写像導分約 52 分