タグ: 多様体

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• de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴閉形式を完全形式で割った de Rham コホモロジーを定義し、ホモトピー不変性と Poincaré の補題を Cartan の公式から導く。Mayer–Vietoris 完全系列を証明し、球面のコホモロジーを具体的に計算する。数学多様体論学部多様体de Rham コホモロジーPoincaré の補題Mayer–Vietoris球面約 35 分
• ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分ベクトル場を接バンドルの切断として定義し、余接バンドルから k 次微分形式と外積代数を構成する。外微分 d の存在と一意性を公理から証明し、d∘d=0 が grad・rot・div の恒等式を統一することを示す。数学多様体論学部多様体微分形式外微分外積代数接バンドル約 29 分
• ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理：局所的に平らにできる条件ベクトル場の流れの存在と群の性質を示し、Lie 微分がベクトル場では括弧積、微分形式では Cartan の公式で与えられることを証明する。Lie 括弧の可換性から Frobenius の定理を導く。数学多様体論学部多様体ベクトル場流れLie 微分Frobenius の定理約 38 分
• 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む局所的にユークリッド空間と同一視できる空間で微分を語るために、チャート・座標変換・極大アトラスを厳密に導入する。球面・実射影空間・トーラスのアトラスを具体的に構成し、多様体上の C^k 級関数と多様体間の C^k 級写像までを定義する。数学多様体論学部多様体チャートアトラス微分可能構造射影空間約 50 分
• ストークスの定理：微分と境界の双対性向き付け可能な多様体と境界付き多様体を定義し、1 の分割で積分を構成して一般化ストークスの定理を証明する。微分積分学の基本定理・グリーン・ガウス・ストークスがすべてその特別な場合であることを確かめる。数学多様体論学部多様体微分形式積分向き付けストークスの定理約 48 分
• 部分多様体と正則値定理：逆関数定理から 1 の分割・Sard・Whitney まで逆関数定理から沈め込み・はめ込みの局所標準形を導き、正則値定理と埋め込み部分多様体を証明する。1 の分割の存在、Sard の定理、コンパクト多様体の Whitney 埋め込みまで一本の筋で示す。数学多様体論学部多様体部分多様体正則値定理Sard の定理1 の分割約 49 分
• 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀多様体上の接ベクトル空間を、曲線の同値類・座標成分の変換則・導分という三つの流儀で構成し、Hadamard の補題を用いて三者が自然に同型であることを証明する。さらに写像の微分と連鎖律、接バンドルが 2n 次元多様体になることまで示す。数学多様体論学部多様体接ベクトル空間接バンドル微分写像導分約 57 分