タグ: 指数写像

測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分測地線を接バンドル上のベクトル場の積分曲線として構成し、指数写像と Gauss の補題から測地線の局所最短性を示す。Hopf–Rinow の定理を証明し、Jacobi 場・共役点・第二変分公式から Bonnet–Myers の直径評価を導く。数学微分幾何学修士測地線指数写像Gauss の補題Hopf–Rinow の定理Jacobi 場約 34 分
行列 Lie 群と指数写像：閉部分群定理・BCH 公式・SU(2)→SO(3) と Spin 群GL(n,C) の閉部分群が自動的に Lie 群になること（閉部分群定理）を示し、連続準同型が Lie 環の準同型を誘導すること、BCH 公式の積分表示と収束域、単連結群への準同型の持ち上げ、SU(2)→SO(3) と Spin(n)→SO(n) の 2 重被覆を証明する。数学Lie 群と Lie 環の表現論修士行列Lie群閉部分群定理BCH公式指数写像Spin群約 61 分
リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する多様体かつ群であるリー群を定義し、GL(n,R)・SL(n,R)・O(n)・U(n) を正則値定理で構成する。左不変ベクトル場から単位元の接空間にブラケットを入れてリー環を作り、指数写像で両者を結びつける。数学多様体論学部リー群リー環指数写像左不変ベクトル場古典群約 51 分