タグ: 測度論

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• 確率空間とコルモゴロフの公理：確率を「全測度 1 の測度」として定義する古典的確率の限界とベルトランのパラドックスから出発し、標本空間・σ-加法族・確率測度というコルモゴロフの三公理を厳密に定義する。単調性・劣加法性・連続性を公理から証明し、条件付き確率、ベイズの定理、独立性、ボレル–カンテリの補題まで導く。数学確率論学部確率論測度論σ-加法族ベイズの定理独立性約 44 分
• 測度空間と Carathéodory の拡張定理：前測度から測度を作り、一意性を示すσ-加法族と測度の一般論から出発し、外測度による Carathéodory の構成、代数上の前測度の拡張定理、Dynkin の π-λ 定理による一意性、Lebesgue–Stieltjes 測度の構成までを、証明を省かずに積み上げる。数学解析学（実解析）学部測度論Carathéodoryの拡張定理π-λ定理Lebesgue–Stieltjes測度外測度約 26 分
• ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する可測関数を定義し、単関数・非負可測関数・可積分関数の順にルベーグ積分を構成します。単調収束定理・ファトゥの補題・優収束定理を証明し、リーマン積分可能な関数では両者の値が一致することを示します。数学解析学（実解析）学部ルベーグ積分可測関数単調収束定理優収束定理測度論約 40 分