タグ: 確率論

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• 特性関数と Gauss ベクトル：反転公式・Lévy の連続性定理・Wick の公式・Mills 比特性関数の反転公式と一意性を Gauss 平滑化で証明し、Lévy の連続性定理を証明する。続いて Gauss ベクトルの構造、Wick（Isserlis）の公式、Mills 比の評価を示す。数学確率論学部確率論特性関数Gauss ベクトルWick の公式Mills 比約 34 分
• 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する条件付き期待値をσ-加法族に対する概念として厳密に定義し、ラドン・ニコディムの定理による存在と一意性、タワー・プロパティ、既知量の取り出し、条件付きイェンセン不等式、L^2直交射影としての特徴づけまでを証明付きで解説する。数学確率論学部確率論条件付き期待値ラドン・ニコディムの定理タワー・プロパティ直交射影約 23 分
• 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか確率収束・概収束・平均収束・分布収束の定義と含意関係を整理し、弱法則と強法則、そして特性関数による中心極限定理の証明を与える。標準誤差 1/√n と信頼区間の根拠まで一気に繋ぐ。数学確率論学部確率論大数の法則中心極限定理確率収束特性関数約 56 分
• Markov 連鎖と Poisson 過程：Doeblin のエルゴード定理から正準経路の比較まで離散時間 Markov 連鎖の Doeblin のエルゴード定理を縮小写像で証明し、Poisson 過程と跳び過程、一様化による連続時間 Markov 連鎖を構成する。Dirichlet 形式と正準経路でスペクトルギャップを比較する。数学確率論学部確率論Markov 連鎖Poisson 過程エルゴード定理スペクトルギャップ約 36 分
• マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ条件付き期待値を土台にマルチンゲールを定義し、任意停止定理をギャンブラーの破産問題に適用する。さらにウィーナー過程を厳密に定義し、二次変分と、ブラウン運動から作られる三つのマルチンゲールを証明する。数学確率論学部確率論マルチンゲールブラウン運動停止時刻二次変分約 35 分
• 確率空間とコルモゴロフの公理：確率を「全測度 1 の測度」として定義する古典的確率の限界とベルトランのパラドックスから出発し、標本空間・σ-加法族・確率測度というコルモゴロフの三公理を厳密に定義する。単調性・劣加法性・連続性を公理から証明し、条件付き確率、ベイズの定理、独立性、ボレル–カンテリの補題まで導く。数学確率論学部確率論測度論σ-加法族ベイズの定理独立性約 44 分