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調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ円板の Poisson 積分公式から Dirichlet 問題を解き、平均値性質・Harnack の不等式と原理・Herglotz の表現・Schwarz の鏡像原理までを証明つきで導く。数学複素関数論学部調和関数Poisson 積分Dirichlet 問題Harnack の不等式鏡像原理約 19 分
正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか複素微分可能性を「どの方向から近づいても同じ極限」という要求として読み解き、コーシー・リーマンの関係式を導く。偏微分の存在だけでは足りない反例を挙げ、全微分可能性を加えれば必要十分になることを証明し、指数関数・三角関数・対数の主枝の正則性を確かめる。数学複素関数論学部複素解析正則関数コーシー・リーマンの関係式全微分可能性調和関数約 32 分
ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数n 次元の調和関数について、発散定理から平均値の性質を導き、強最大値原理と Harnack の不等式を証明する。基本解で Poisson 方程式を解き、Green 関数と球の Poisson 核で Dirichlet 問題を解く。数学偏微分方程式修士調和関数平均値の性質最大値原理Harnack の不等式Green 関数約 34 分