タグ: 完備性

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• 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか自然数から実数への拡張を「解けない方程式」を動機に追い、√2 の無理性と有理数の「隙間」を証明する。実数の連続性公理から 1 = 0.999… を三通りに示し、ゼロ除算が許されない理由も積の逆演算として説明する。数学数学基礎学部実数有理数無理数完備性無限小数約 19 分
• 実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」実数の完備性を「上に有界な単調増加数列は収束する」という公理から出発し、アルキメデスの原理、上限の存在、有理数・無理数の稠密性、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理、コーシー列の収束までを省略なしに証明する。数学解析学（実解析）学部完備性コーシー列上限ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理約 20 分
• L^p 空間と関数解析への導入：ヘルダーの不等式から完備性・ヒルベルト空間まで本p 乗可積分関数のなす L^p 空間を測度空間上で定義し、ヤングの不等式からヘルダー・ミンコフスキーの不等式を導く。さらにリース–フィッシャーの定理で完備性を証明し、L^2 がヒルベルト空間になることと関数解析への接続を述べる。数学解析学（実解析）学部Lp空間ヘルダーの不等式バナッハ空間ヒルベルト空間完備性約 19 分
• 連続関数と一様連続性：δ が点に依存しないとはどういうことか有界閉区間上の連続関数が有界性・最大値・中間値をもつことをボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と区間縮小法から証明し、さらに δ が点に依存しない一様連続性を定義してハイネ・カントールの定理を示す。数学解析学（実解析）学部一様連続性連続関数中間値の定理最大値の原理完備性約 17 分