タグ: 合同式

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• 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件剰余類の集合に代表元どうしの積で演算を入れたいという要求から正規部分群の定義を導き、商群 G/N が群になることと自然な全射準同型の存在を証明し、Z/nZ を具体例として細部まで調べます。数学代数学（群・環・体）学部群論正規部分群商群剰余類合同式約 44 分
• 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined）二項関係を直積集合の部分集合として定義し、反射律・対称律・推移律から同値類と商集合を構成する。整数の合同や有理数の構成を例に、商集合上の演算が代表元の取り方によらず定まること（well-defined）を証明つきで解説する。数学数学基礎学部同値関係同値類商集合合同式well-defined約 46 分
• 整数の性質 II：合同式・位数・循環小数・ピタゴラス数・Pell 方程式倍数の判定法、位数と冪の余りの周期、Wilson の定理とその逆、有理数と循環小数・循環節の長さ、原始ピタゴラス数と単位円の有理点、Pell 方程式の解の存在と構造を合同式で証明する。数学高校数学：数と式・整数・数列高校〜一般合同式位数循環小数ピタゴラス数Pell方程式約 33 分
• 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する整数の合同式を同値関係として定義し、剰余環 Z/nZ とその単元群の構造を調べ、フェルマーの小定理とオイラーの定理を証明する。中国剰余定理を経由して RSA 暗号の正当性まで到達する。数学数論学部合同式剰余環フェルマーの小定理オイラー関数RSA暗号約 10 分