非可換幾何学

数学博士・研究無料 2 章有料 4 章

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想定読者: 専門家・大学院生

前提テーマ:解析学（実解析）、位相空間論、代数学（群・環・体）

目次

1. 第 1 章非可換幾何学への動機無料可換 C*-代数と局所コンパクト空間を対応させるゲルファント・ナイマルクの定理を証明し、空間の位相が関数環に完全にエンコードされることを示す。その上で量子論の交換関係と無理数回転の軌道空間を例に、非可換代数を「空間」とみなす枠組みを導入する。
2. 第 2 章C*-代数の基礎無料バナッハ代数と対合から出発して C*-代数の公理を厳密に定め、スペクトルの非空コンパクト性とゲルファント–ベーリングのスペクトル半径公式を証明する。可換 C*-代数が局所コンパクト空間上の関数環に限ることを示し、連続関数計算までを整備する。
3. 第 3 章K-理論入門本コンパクト空間上のベクトル束の分類から出発し、C*-代数の K₀ 群と K₁ 群を射影のマレー–フォン・ノイマン同値とユニタリ群の連結成分として定義する。六項完全系列とボット周期性を述べ、トープリッツ拡大の指数計算まで実行する。
4. 第 4 章スペクトル三つ組 (A, H, D)本スペクトル三つ組 (A, H, D) を定義し、コンパクトスピン多様体のディラック作用素が可換な模型になることを示す。距離公式が測地距離を再現することを証明し、ディクシエ跡による次元と体積の復元、実構造の公理と再構成定理までを扱う。
5. 第 5 章非可換トーラスの例本2 つのユニタリが VU = exp(2πiθ)UV で絡む C*-代数 A_θ を構成し、θ が無理数のときの単純性と一意トレース、微分構造とスペクトル三つ組、K 群のトレース像 Z+θZ を証明する。葉層構造と磁場中の電子への応用まで扱う。
6. 第 6 章指数定理への応用本楕円型作用素の解析的指数と位相的指数の一致を述べるアティヤ・シンガーの定理を出発点に、コンヌが巡回コホモロジーと K-理論の対で与えた非可換版の指数定理、局所指数公式、葉層構造への一般化、そして標準模型のスペクトル作用までを追います。

「非可換幾何学」は 1 冊の本としてまとめています。無料章を読んで続きが気になったら、本の一覧からどうぞ。