タグ: 線形代数

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数学を学び直す意義：AI を読み解く三つの言語LLM の内部で何が起きているかを、線形代数（埋め込みと低ランク近似）、微分積分（勾配降下法の収束と学習率）、確率統計（交差エントロピーとベイズ更新）の三つの言語で読み解き、学び直しの到達点と順序を示す。情報科学AI時代の生存戦略学部線形代数微分積分確率統計機械学習抽象化約 30 分
平成10年度東大院物理学専攻修士数学解答平成10年度修士課程数学（全3問）の解答。固有値が縮退した3次実行列のジョルダン鎖とアフィン漸化式の収束条件、定数変化法による強制振動とインパルス応答、2連勝までの待ち時間の3項間漸化式と期待値を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数微分方程式確率統計約 14 分
平成11年度東大院物理学専攻修士数学解答平成11年度修士課程数学（全3問）の解答。ディリクレ積分の複素積分による評価と絶対値関数のフーリエ級数、3次実行列の特性多項式の係数を Tr で表すことと複素固有値をもつ条件、重み exp(-x^2) に関する直交多項式（エルミート多項式）の構成・パリティ・漸化式を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士複素解析フーリエ解析線形代数特殊関数約 21 分
平成12年度東大院物理学専攻修士数学解答平成12年度修士課程一般教育科目「数学・物理」のうち数学3問の解答。渦なしベクトル場のポテンシャル、実対称行列の固有値問題とユニタリ変換、熱伝導方程式のグリーン関数を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士微分方程式線形代数複素解析フーリエ解析約 12 分
平成13年度東大院物理学専攻修士数学解答平成13年度修士課程数学（全3問）の解答。4次元空間の2つの部分空間の次元と共通部分、円形膜の振動とベッセル関数の直交性、減衰振動子のグリーン関数をフーリエ変換と留数定理で求める問題を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数微分方程式特殊関数フーリエ解析複素解析約 16 分
平成14年度東大院物理学専攻修士数学解答平成14年度修士課程数学（全2問）の解答。鏡映を含む2次実対称行列の固有値・対角化と単位円上の円が接線方向に伸びた楕円へ写る変形、および3次元ラプラス方程式の動径方程式・球面調和関数展開による球殻の境界値問題を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数微分方程式特殊関数フーリエ解析約 10 分
平成15年度東大院物理学専攻修士数学解答平成15年度修士課程数学（全2問）の解答。外積で定まる線形常微分方程式の直交対角化と回転、球対称波動方程式の初期値問題と時間フーリエ変換を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数微分方程式波動フーリエ解析約 15 分
平成16年度東大院物理学専攻修士数学解答平成16年度修士課程数学（全2問）の解答。2次以下の多項式空間上の合成写像 p(x) から p(ax+b) への表現行列・固有値・反復作用と、拡散方程式のフーリエ解、ガウス型積分、熱核による初期値問題、矩形初期条件の誤差関数表示を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数微分方程式フーリエ解析特殊関数約 13 分
平成17年度東大院物理学専攻修士数学解答平成17年度修士課程数学（全2問）の解答。ユニタリ行列の列ベクトルの正規直交性から実2次形式の標準形、勾配系 dx/dt = -∇Φ の構成と原点への漸近安定性までを扱う線形代数の問題と、調和ポテンシャル中の拡散方程式（オルンシュタイン–ウーレンベック型）をガウス分布のアンザッツとフーリエ変換で解く問題を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数微分方程式フーリエ解析確率統計約 16 分
平成18年度東大院物理学専攻修士数学解答平成18年度修士課程数学（全2問）の解答。エルミート行列の射影演算子によるスペクトル分解と虚時間発展による最小固有値の抽出、およびオイラー–ラグランジュ方程式からベルトラミの恒等式を経て最小回転面（懸垂面）を求める問題を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数変分法微分方程式約 19 分
平成19年度東大院物理学専攻修士数学解答平成19年度修士課程数学（全2問）の解答。回転行列の直交性・行列指数関数・ファンデルモンド行列式と、コーシー–リーマン関係式からストークスの定理経由でコーシーの積分定理を導きガウス型積分を評価する問題を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数複素解析フーリエ解析微分方程式約 7 分
平成20年度東大院物理学専攻修士数学解答平成20年度修士課程数学（全2問）の解答。3次元回転群の性質・回転の固有値・交代行列の指数関数による生成と、エルミート多項式の次数・ガウス積分・複素積分による母関数・エルミートの微分方程式を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数群論微分方程式複素解析特殊関数約 24 分
平成21年度東大院物理学専攻修士数学解答平成21年度修士課程数学（全2問）の解答。θ に依存する2次実対称行列の固有値・行列多項式・逆行列、半正定値実対称行列のトレース不等式、そして2成分連立1階常微分方程式とローレンツ型積分による遷移確率を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数微分方程式複素解析フーリエ解析約 18 分
平成22年度東大院物理学専攻修士数学解答平成22年度修士課程数学（全2問）の解答。正定値対称行列に対する最急降下法とその収束率、1次元波動方程式の特性座標・エネルギー積分・ダランベールの公式とローレンツ型初期速度の具体解を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数微分方程式波動変分法約 12 分
平成23年度東大院物理学専攻修士数学解答平成23年度修士課程数学（全2問）の解答。反交換する2つの対合行列からパウリ代数を再構成する問題と、1次元グリーン関数・円板のラプラス方程式・d 次元ポアソン方程式を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数微分方程式フーリエ解析複素解析特殊関数約 18 分
平成24年度東大院物理学専攻修士数学解答平成24年度修士課程数学（全2問）の解答。パウリ行列の積から SU(2) による3次元回転（ロドリゲスの公式）を組み立て、2次の複素行列に関する真偽判定6問に答え、双曲型連立1階偏微分方程式の特性分解と拡散型連立2階方程式の熱核解を求めます。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数群論微分方程式フーリエ解析約 22 分
平成25年度東大院物理学専攻修士数学解答平成25年度修士課程数学（全2問）の解答。ヴァンデルモンド行列式の因数分解と対数微分の留数、2階線形偏微分方程式の標準形・熱核・波動方程式の一般解を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数複素解析微分方程式フーリエ解析約 8 分
平成26年度東大院物理学専攻修士数学解答平成26年度修士課程数学（全2問）の解答。線形1階方程式と連立系、熱方程式の境界値問題、ロジスティック型方程式、巡回シフト行列による巡回対称行列の対角化、2層系の固有値と摂動の次数を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士微分方程式線形代数フーリエ解析固体物理約 17 分
平成27年度東大院物理学専攻修士数学解答平成27年度修士課程数学（全2問）の解答。ケーリー・ハミルトンの定理から作られるチェビシェフ多項式、スツルム・リウヴィル型演算子の自己共役性と直交性、拡散方程式の遅延グリーン関数を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数微分方程式特殊関数フーリエ解析複素解析約 7 分
平成28年度東大院物理学専攻修士数学解答平成28年度修士課程数学（全2問）の解答。2次回転行列の積の列とトレースの保存量、実対称三重対角行列の固有値の単純性、質量項つき波動方程式の初期値問題、非線形波動方程式のキンク解と線形化のゼロモードを扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数微分方程式波動約 19 分
平成29年度東大院物理学専攻修士数学解答平成29年度修士課程数学（全2問）の解答。ラプラス変換の収束条件、たたみ込み定理による積分方程式の解法、ブロムウィッチ積分での逆変換、外積の行列表示から回転行列の指数関数表示と共役による回転軸の移り方を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士複素解析フーリエ解析微分方程式線形代数群論約 22 分
平成30年度東大院物理学専攻修士数学解答平成30年度修士課程数学（全2問）の解答。行ベクトルの特異値分解と擬逆ベクトル、移流方程式、定常バーガース方程式の衝撃波解、コール–ホップ変換とフーリエ変換を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数微分方程式フーリエ解析流体約 14 分
平成31年度東大院物理学専攻修士数学解答平成31年度修士課程数学（全2問）の解答。トレースレスエルミート行列の指数写像と SU(3) の構造定数・随伴表現、ゼータ関数正則化による固有値の無限積を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数群論複素解析微分方程式特殊関数約 10 分
平成8年度東大院物理学専攻修士数学解答平成8年度修士課程数学（全3問）の解答。非線形振動子の摂動展開と永年項、3行2列行列の特異値分解、ビュフォンの針（長針の場合）を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士微分方程式線形代数確率統計約 12 分
平成9年度東大院物理学専攻修士数学解答平成9年度修士課程数学（全3問）の解答。2次形式の対角化と回転行列、上半平面の曲線の微分方程式（双曲幾何の測地線）、ピタゴラス数の一般解を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士線形代数微分方程式群論約 9 分
令和2年度東大院物理学専攻修士数学解答令和2年度修士課程数学（全2問）の解答。誤差関数のマクローリン展開と漸近展開、移流拡散方程式のフーリエ解法とグリーン関数、巡回シフト行列と位相行列が作る代数の固有値と相互不偏基底を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士特殊関数フーリエ解析微分方程式線形代数約 19 分
令和4年度東大院物理学専攻修士物理学解答令和4年度修士課程専門科目（全4問）の解答。不確定性関係と最小不確定状態、理想ボース気体のボース・アインシュタイン凝縮、誘電体境界での電磁波の反射・透過と全反射、留数計算による分散関係とランク1摂動を受けた行列の固有値を扱います。物理学東大院試（物理学専攻）解答修士量子力学統計力学電磁気学複素解析線形代数約 17 分
行列式とその性質：符号付き体積としての det行列式を置換の符号によるライプニッツの公式と余因子展開の両面から定義し、多重線形性と交代性による特徴づけから det(AB)=det(A)det(B) と正則性の判定を証明し、符号付き体積という幾何的意味まで見通す。数学線形代数学学部線形代数行列式多重線形性余因子展開正則行列約 52 分
対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す本行列の対角化を「線形変換が最も簡単に見える基底を選ぶこと」と捉え、可能性の判定を重複度で与える。べき乗計算や実対称行列の直交対角化に応用し、対角化できない行列にはジョルダン標準形の構造と細胞の決め方までを扱う。数学線形代数学学部線形代数対角化ジョルダン標準形対称行列重複度約 49 分
固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す本固有値と固有ベクトルを「線形変換が向きを変えない方向」として導入し、特性方程式による求め方、固有空間の和が直和になること、代数的重複度と幾何学的重複度の大小関係を証明する。対角化可能性の判定条件と主成分分析への応用まで扱う。数学線形代数学学部線形代数固有値固有ベクトル特性多項式固有空間約 55 分
内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む本内積の公理から長さ・角度・直交性を定義し、コーシー・シュワルツの不等式、正規直交基底による展開、グラム・シュミットの直交化、直交補空間と直交射影による最良近似（最小二乗法）までを証明付きで積み上げる。数学線形代数学学部線形代数内積空間正規直交基底グラム・シュミット直交射影約 33 分
行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造行列を線形写像の表現として導入し、積が写像の合成に対応することを示す。基底変換の公式、ガウスの消去法、階数と次元定理を経て、Ax=b の解集合が特殊解と核の和になることを証明する。数学線形代数学学部線形代数行列表現行列掃き出し法階数約 64 分
ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理までベクトル空間の 8 公理を出発点に、部分空間・線形独立・基底・次元を厳密に定義し、取り替え補題から次元の一意性を証明します。線形変換の核と像を調べ、次元定理を証明して、回転・射影・微分・主成分分析で確かめます。数学線形代数学学部線形代数ベクトル空間基底と次元線形変換次元定理約 62 分

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