## 2. 準備：数列の極限、上限、上極限
数列 $(x_n)$ が $x$ に収束するとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある番号 $N$ が存在し、$n \ge N$ ならば $|x_n - x| < \varepsilon$ となることでした（[極限と連続性](/mathematics/calculus/limits-and-continuity)）。この記事で実数について使う性質は次の二つです。
- **上限の存在（実数の連続性）**：空でなく上に有界な $\mathbb{R}$ の部分集合 $A$ には最小上界 $\sup A$ が存在する（[数とは何か？](/mathematics/foundations/what-is-a-number) の
）。
- **完備性**：コーシー列（任意の $\varepsilon > 0$ に対しある $N$ があって $m, n \ge N$ ならば $|x_m - x_n| < \varepsilon$ となる数列）は収束する。
まず、後の議論で繰り返し使う基本定理を確認します。
実数列 $(x_n)$ が単調増加（すなわちすべての $n$ で $x_n \le x_{n+1}$）であり、かつ上に有界であるとする。このとき $(x_n)$ は収束し、$\lim_{n \to \infty} x_n = \sup_{n \ge 1} x_n$ である。
集合 $A = \{x_n : n \ge 1\}$ は空でなく、仮定より上に有界です。上限の存在（§2）より $x^{*} = \sup A$ が存在します。$\varepsilon > 0$ を任意に取ります。$x^{*} - \varepsilon$ は $A$ の上界ではない（$x^{*}$ が最小の上界だから）ので、ある番号 $N$ があって $x_N > x^{*} - \varepsilon$ となります。単調増加性より $n \ge N$ ならば $x_n \ge x_N > x^{*} - \varepsilon$ であり、一方 $x^{*}$ は上界なので $x_n \le x^{*}$ です。したがって $n \ge N$ のとき $|x_n - x^{*}| < \varepsilon$ となり、$x_n \to x^{*}$ が示されました。
根判定法・比判定法を極限の存在を仮定せずに述べるために、上極限を用意します。
実数列 $(x_n)$ が上に有界であるとき、$y_N = \sup_{n \ge N} x_n$ とおく。$(y_N)$ は $N$ について単調減少なので、下に有界ならば収束し、そうでなければ $-\infty$ に発散する。この値を
$$
\limsup_{n \to \infty} x_n = \inf_{N \ge 1} \, \sup_{n \ge N} x_n
$$
と書き、$(x_n)$ の**上極限**という。$(x_n)$ が上に有界でないときは $\limsup_{n\to\infty} x_n = +\infty$ と約束する。下極限 $\liminf_{n\to\infty} x_n = \sup_{N \ge 1} \inf_{n \ge N} x_n$ も同様に定める。
$\alpha = \limsup_{n\to\infty} x_n$ が有限のとき、次の二つが成り立ちます。以降の証明はこの二つしか使いません。
**(a) $r > \alpha$ ならば、ある $N$ が存在して $n \ge N$ のすべてで $x_n < r$。** 実際、$\inf_N \sup_{n \ge N} x_n = \alpha < r$ なので、下限の定義よりある $N$ で $\sup_{n \ge N} x_n < r$ となり、$n \ge N$ では $x_n \le \sup_{n \ge N} x_n < r$ です。
**(b) $r < \alpha$ ならば、$x_n > r$ となる $n$ が無限個ある。** 実際、任意の $N$ について $\sup_{n \ge N} x_n \ge \alpha > r$ なので、上限の定義よりある $n \ge N$ で $x_n > r$ です。$N$ は任意なのでそのような $n$ はいくらでも大きく取れます。
下極限についても、不等号の向きを入れ替えた同じ議論により **(a') $r < \liminf_{n\to\infty} x_n$ ならば、ある $N$ が存在して $n \ge N$ のすべてで $x_n > r$** が成り立ちます。
$(x_n)$ が収束すれば $\limsup x_n = \liminf x_n = \lim x_n$ であり、上極限は極限の一般化になっています。
## 3. 級数の定義と最初の必要条件
数列 $(a_n)_{n \ge 1}$ に対し、
$$
S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n \qquad (N = 1, 2, \ldots)
$$
を第 $N$ **部分和**という。数列 $(S_N)_{N \ge 1}$ がある実数 $S$ に収束するとき、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は**収束する**といい、$S$ をその**和**と呼んで $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$ と書く。$(S_N)$ が収束しないとき、級数は**発散する**という。
記号 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は、級数という対象そのものと、収束する場合の和の値の両方を表す慣用があります。添字の出発点は $1$ でなくてもよく、$\sum_{n \ge 0}$ や $\sum_{n \ge 2}$ も同じ流儀で定義します。
有限個の項を変更・削除・追加しても、級数の収束・発散は変わりません（和の値は変わります）。実際、$n \ge n_0$ で $a_n = b_n$ ならば、$N \ge n_0$ に対し $\sum_{n \le N} a_n - \sum_{n \le N} b_n$ は $N$ によらない定数なので、一方の部分和が収束することと他方が収束することは同値です。また $\lambda \ne 0$ のとき $\sum \lambda a_n$ の部分和は $\lambda S_N$ なので、$\sum \lambda a_n$ が収束することと $\sum a_n$ が収束することは同値で、$\sum \lambda a_n = \lambda \sum a_n$ です。同様に、$\sum a_n$ と $\sum b_n$ がともに収束すれば $\sum (a_n + b_n)$ も収束し、和は和の和になります（部分和が $S_N + T_N$ だから）。
$r \ne 1$ のとき、$\sum_{n=0}^{N} r^n = \dfrac{1 - r^{N+1}}{1-r}$ です（両辺に $1-r$ を掛ければ確かめられます）。
$|r| < 1$ のとき $r^{N+1} \to 0$ なので、部分和は $\dfrac{1}{1-r}$ に収束します。すなわち
$$
\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r} \qquad (|r| < 1).
$$
$|r| \ge 1$ のときは $|r^n| \ge 1$ なので一般項は $0$ に収束せず、後述の
この命題は**発散を示すためだけ**に使えます。逆は成り立ちません。それを見るのが次の例で、級数論で最も重要な反例です。
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac1n$ を考えます。一般項は $0$ に収束しますが、この級数は発散します。$14$ 世紀のオレームによる論法を書きます。$H_N = \sum_{n=1}^{N} \frac1n$ とおき、$N = 2^k$ での部分和を項数 $1, 1, 2, 4, 8, \ldots$ の塊に分けます。$j \ge 1$ について、$2^{j-1} < n \le 2^j$ を満たす $n$ は $2^{j-1}$ 個あり、そのそれぞれで $\frac1n \ge \frac{1}{2^j}$ ですから
$$
\sum_{n = 2^{j-1}+1}^{2^{j}} \frac{1}{n} \;\ge\; 2^{j-1} \cdot \frac{1}{2^{j}} = \frac12 .
$$
これを $j = 1, \ldots, k$ について足すと
$$
H_{2^k} \;=\; 1 + \sum_{j=1}^{k} \sum_{n=2^{j-1}+1}^{2^{j}} \frac1n \;\ge\; 1 + \frac{k}{2}
$$
となり、部分和はいくらでも大きくなります。収束する数列は有界ですから、$(H_N)$ は収束しません。
発散はしますが極めて遅い。上の評価は $H_N$ が $10$ を超えるのに $2^{18}$ 項程度でよいと言っていますが、実際には $H_N \approx \log N$ なので、$H_N$ が $10$ を超えるのは $N$ が $1$ 万 $2$ 千を超えてからです。「計算機で足してみて増えなくなったから収束」という判断が危険なのは、このためです。
級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するための必要十分条件は、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある番号 $N$ が存在して、$m > n \ge N$ を満たすすべての $m, n$ について
$$
\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| < \varepsilon
$$
が成り立つことである。
$\sum_{k=n+1}^{m} a_k = S_m - S_n$ ですから、条件は「数列 $(S_N)$ がコーシー列である」ことと同じ主張です。
## 4. 正項級数：すべては有界性に帰着する
すべての項が $0$ 以上である級数を**正項級数**と呼びます。正項級数では部分和が単調増加するので、収束の問題が有界性の問題に化けます。この節の内容は、そのたった一つの観察の応用です。
すべての $n$ で $a_n \ge 0$ とする。このとき $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束することと、部分和の列 $(S_N)$ が上に有界であることは同値である。収束する場合、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sup_{N \ge 1} S_N$ である。
$S_{N+1} - S_N = a_{N+1} \ge 0$ なので $(S_N)$ は単調増加です。上に有界ならば
正項級数の部分和は上に有界か $+\infty$ に発散するかのどちらかなので、正項級数について「$\sum a_n < \infty$」（収束の意味）、「$\sum a_n = \infty$」（発散の意味）という書き方が使えます。以下ではこの記法も用います。
ある番号 $n_0$ が存在して、$n \ge n_0$ を満たすすべての $n$ で $0 \le a_n \le b_n$ が成り立つとする。このとき、
1. $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ が収束すれば $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ も収束する。
2. $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が発散すれば $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ も発散する。
(2) は (1) の対偶なので、(1) を示せば十分です。
比較判定法を使うには不等式を自分で見つけなければなりません。項の**比**の極限だけで判定できる形にしておくと実用的です。
すべての $n$ で $a_n \ge 0$、$b_n > 0$ とし、$c = \lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}$ が（$+\infty$ も許して）存在するとする。
1. $0 < c < \infty$ ならば、$\sum a_n$ と $\sum b_n$ は同時に収束し同時に発散する。
2. $c = 0$ で $\sum b_n$ が収束すれば、$\sum a_n$ も収束する。
3. $c = \infty$ で $\sum b_n$ が発散すれば、$\sum a_n$ も発散する。
(1) 極限の定義で $\varepsilon = \frac{c}{2} > 0$ と取ると、ある $n_0$ があって $n \ge n_0$ のとき $\left| \frac{a_n}{b_n} - c \right| < \frac c2$、すなわち
$$
\frac{c}{2} b_n < a_n < \frac{3c}{2} b_n \qquad (n \ge n_0)
$$
です（$b_n > 0$ を掛けました）。右の不等式と
## 5. 積分判定法：和を面積で挟む
$\sum \frac{1}{n^2}$ のように「$n$ の有理式」や $\log n$ を含む級数は、比較する相手を探すより、対応する広義積分（[積分の基本定理と定積分](/mathematics/calculus/integration-and-ftc)）と比べるほうが速い。単調減少関数に対して、和は面積で上下から挟めます。
関数 $f : [1, \infty) \to \mathbb{R}$ が、すべての $x \ge 1$ で $f(x) \ge 0$ を満たし、単調減少（$x \le y$ ならば $f(x) \ge f(y)$）であるとする。このとき、
1. 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ が収束することと、広義積分 $\displaystyle\int_1^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^{b} f(x)\,dx$ が有限の値に収束することは同値である。
2. 収束する場合、任意の $N \ge 1$ について尾部が
$$
\int_{N+1}^{\infty} f(x)\,dx \;\le\; \sum_{n=N+1}^{\infty} f(n) \;\le\; \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx
$$
で評価される。
まず $f$ は単調なので任意の有界閉区間でリーマン可積分であり（
$s = 1$ が発散側にあることは
と整合しています。境界がどれほど微妙かを、対数を挟んだ級数で見ます。
実数 $s$ に対し $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\log n)^{s}}$ を調べます。まず $s > 0$ とします。このとき $f(x) = \dfrac{1}{x(\log x)^{s}}$ は $[2,\infty)$ で正であり、$x (\log x)^s$ が増加するので単調減少です（
## 6. ダランベールの比判定法とコーシーの根判定法
の等比級数は、収束・発散が完全にわかっている数少ない級数です。この節の二つの判定法は、いずれも「与えられた級数を等比級数と比べる」ための仕掛けで、階乗や $n$ 乗を含む級数に強い。
数列 $(a_n)$ に対し $\alpha = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}$ とおく（
## 7. 絶対収束と条件収束
ここまでの判定法（比較・積分・比・根）は、いずれも $|a_n|$ の級数を扱っていました。符号が入り混じる級数を扱うには、絶対値を付けた級数との関係を整理する必要があります。
級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ について、$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ が収束するとき $\sum a_n$ は**絶対収束する**という。$\sum a_n$ は収束するが $\sum |a_n|$ は発散するとき、$\sum a_n$ は**条件収束する**という。
$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ が収束するならば $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ も収束し、さらに
$$
\left| \sum_{n=1}^{\infty} a_n \right| \le \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|
$$
が成り立つ。
$\varepsilon > 0$ とします。$\sum |a_n|$ は収束するので、
逆は成り立ちません。それが条件収束であり、典型例は交項級数です。
数列 $(b_n)_{n \ge 1}$ が、すべての $n$ で $b_n \ge 0$、単調減少（$b_{n+1} \le b_n$）、かつ $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$ を満たすとする。このとき交項級数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \cdots
$$
は収束する。さらにその和を $S$、第 $N$ 部分和を $S_N$ とすると、すべての $N$ について
$$
|S - S_N| \le b_{N+1}
$$
が成り立ち、$S$ は $S_N$ と $S_{N+1}$ の間にある。
偶数番目と奇数番目の部分和を別々に見ます。
$$
S_{2m+2} - S_{2m} = b_{2m+1} - b_{2m+2} \ge 0, \qquad S_{2m+1} - S_{2m-1} = -b_{2m} + b_{2m+1} \le 0
$$
（どちらも単調減少性 $b_{n+1} \le b_n$ を使いました）。よって $(S_{2m})_m$ は単調増加、$(S_{2m-1})_m$ は単調減少です。また $S_{2m+1} - S_{2m} = b_{2m+1} \ge 0$ なので
$$
S_2 \le S_4 \le \cdots \le S_{2m} \le S_{2m+1} \le \cdots \le S_3 \le S_1
$$
となり、$(S_{2m})$ は $S_1$ で上に有界、$(S_{2m-1})$ は $S_2$ で下に有界です。
条件収束の級数は、絶対収束の級数とは質的に違います。その違いが最もはっきり出るのが、項の並べ替えです。
$\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ を全単射とするとき、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{\sigma(n)}$ を $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の**並べ替え**（再配列）という。ここで $\mathbb{N} = \{1, 2, \ldots\}$ とする。
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が条件収束するとする。このとき任意の実数 $\alpha$ に対して、ある全単射 $\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ が存在して
$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_{\sigma(n)} = \alpha
$$
となる。$\alpha = +\infty$、$\alpha = -\infty$ に発散させる並べ替えや、部分和が振動する並べ替えも存在する。
証明は長さの都合で Appendix に置きました。対になる事実として、**絶対収束する級数はどのように並べ替えても収束し、和が変わらない**（ディリクレの定理）が知られています。証明は Rudin『Principles of Mathematical Analysis』第 3 章にあります。この二つを合わせると、「足す順序を変えてよい」という有限和では当たり前の性質は、絶対収束を仮定して初めて無限和に持ち越せる、と言えます。
最後に、判定法の使い分けを一枚にまとめます。上から順に試すのが標準的な段取りです。
B{"一般項は 0 に収束するか"}
B -->|いいえ| X["発散（一般項の必要条件）"]
B -->|はい| C["絶対値を付けた正項級数を調べる"]
C --> D{"階乗や n 乗を含むか"}
D -->|はい| E["比判定法・根判定法"]
D -->|いいえ| F["比較判定法・積分判定法"]
E --> G{"正項級数は収束するか"}
F --> G
G -->|収束| H["絶対収束、したがって収束"]
G -->|発散| I{"符号が交互で絶対値が単調減少か"}
I -->|はい| J["ライプニッツの判定法で条件収束"]
I -->|いいえ| K["部分和を直接評価する"]`} />
## 8. 演習
級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}$ が収束することを示し、その和を求めよ。
**収束**：$a_n = \frac{n}{2^n} > 0$ で
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n} \longrightarrow \frac12 < 1
$$
なので、
## 参考文献
- W. Rudin, *Principles of Mathematical Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 — 第 3 章（数列と級数）。根判定法・比判定法の上極限による定式化、上極限と比の関係、再配列定理はこの章にまとまっています。
- T. M. Apostol, *Mathematical Analysis*, 2nd ed., Addison-Wesley, 1974 — 第 8 章（無限級数と無限積）。
- 高木貞治『解析概論』改訂第 3 版、岩波書店 — 無限級数・一様収束の章。日本語で書かれた古典で、判定法の扱いが詳しい。
- 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 実数の連続性から級数までを、ε-δ 論法を省かずに展開しています。
- A.-L. Cauchy, *Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique*, 1821 — 第 6 章。級数の和を部分和の極限として定義し、比判定法・根判定法を与えた原典です。
- B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe", 1854 年執筆・1867 年公刊 — 条件収束級数の再配列に関する定理が述べられています。
## Appendix: リーマンの再配列定理の証明
を、$\alpha$ が実数の場合について証明します。
**準備**：$p_n = \max(a_n, 0)$、$q_n = \max(-a_n, 0)$ とおくと、$p_n, q_n \ge 0$ で
$$
a_n = p_n - q_n, \qquad |a_n| = p_n + q_n
$$
です。まず $\sum p_n = \sum q_n = \infty$ を示します。もし両方収束すれば $\sum |a_n| = \sum (p_n + q_n)$ が収束してしまい、条件収束の仮定（
）に反します。もし片方だけ、たとえば $\sum p_n$ が収束し $\sum q_n$ が発散したとすると、部分和について $\sum_{n \le N} a_n = \sum_{n\le N} p_n - \sum_{n \le N} q_n$ の右辺は（有限の極限を持つ量）$-$（$+\infty$ に発散する量）となって $-\infty$ に発散し、$\sum a_n$ の収束に反します。$\sum q_n$ だけが収束する場合も同様です。よって両方発散します。
また $\sum a_n$ は収束するので
より $a_n \to 0$ であり、$0 \le p_n, q_n \le |a_n|$ から $p_n \to 0$、$q_n \to 0$ です。
**構成**：$a_n > 0$ となる項を番号の順に $P_1, P_2, \ldots$ と並べ、$a_n \le 0$ となる項の絶対値を番号の順に $Q_1, Q_2, \ldots$ と並べます。$\sum_k P_k = \sum_n p_n = \infty$、$\sum_k Q_k = \sum_n q_n = \infty$ なので、どちらの列も無限列です。
次のように交互に取り出します。まず $P_1 + \cdots + P_{m_1} > \alpha$ となる最小の $m_1$ を取ります（$\sum P_k = \infty$ なので存在します）。次に
$$
P_1 + \cdots + P_{m_1} - Q_1 - \cdots - Q_{k_1} < \alpha
$$
となる最小の $k_1$ を取ります（$\sum Q_k = \infty$ なので存在します）。以下、$P$ 側を $\alpha$ を超えるまで、$Q$ 側を $\alpha$ を下回るまで、最小個数ずつ交互に足していきます。この操作は各項をちょうど一度ずつ使うので、全単射 $\sigma$ を定めます。
**収束の証明**：この並べ替えの部分和を $T_j$ と書きます。$j$ 番目の切り替え直後の部分和を $U_j$ とします。$U_j$ が $P$ 側の切り替え（$\alpha$ を超えた瞬間）なら、$m_j$ の最小性より一つ手前の部分和は $\alpha$ 以下ですから
$$
0 < U_j - \alpha \le P_{m_j}
$$
です。$Q$ 側の切り替えなら同様に $0 < \alpha - U_j \le Q_{k_j}$。いずれにせよ $|U_j - \alpha| \le \max(P_{m_j}, Q_{k_j})$ です。
さらに、$U_j$ と $U_{j+1}$ の間の部分和は単調に $U_j$ から $U_{j+1}$ へ動く（$P$ 側の区間では増加、$Q$ 側の区間では減少）ので、その区間のすべての部分和は $U_j$ と $U_{j+1}$ の間、特に $\alpha$ からの距離が $\max(|U_j - \alpha|, |U_{j+1}-\alpha|)$ 以下の範囲にあります。
$j \to \infty$ のとき使われる添字 $m_j, k_j$ は無限大に向かい、$P_k \to 0$、$Q_k \to 0$（準備で示しました）なので $|U_j - \alpha| \to 0$ です。したがって部分和 $T_n$ は $\alpha$ に収束します。すなわち $\sum_{n=1}^{\infty} a_{\sigma(n)} = \alpha$ です。
$\alpha = +\infty$ の場合は、目標値を $1, 2, 3, \ldots$ と動かしながら同じ操作を行えばよく、振動させたい場合は二つの目標値を交互に狙えばよい。以上で証明が終わります。