強結合の格子 Yang–Mills：確率解析による結果（Shen–Zhu–Zhu）

$d\ge2$、$G=SO(N)$ または $SU(N)$ とし、$\mathbb{Z}^d$ 上の格子 Yang–Mills 模型を作用 $N\beta'\sum_p\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,U_p$、Lie 環の内積 $\langle X,Y\rangle=-\mathrm{tr}(XY)$ で考える。

が正である（$SU(N)$ では $|\beta'|\lt\frac{1}{16(d-1)}$、$SO(N)$ では $|\beta'|\lt\frac{1}{32(d-1)}-\frac{1}{16N(d-1)}$）とする。このとき、(1) 無限体積の Langevin 力学の不変測度は一意で、力学は Wasserstein 距離について指数的に不変測度に収束する。(2) その測度は定数 $K_S$ の対数 Sobolev 不等式（したがって Poincaré 不等式）を満たす。(3) 台が離れた柱状関数の共分散は、台の間の距離について指数的に減衰する（質量ギャップ）。(4) $N\to\infty$ で、$\frac1N\mathrm{tr}$ で規格化した Wilson ループ $\frac1NW_\ell$ の分散は $O(\frac1N)$ で、$\frac1NW_\ell$ とその期待値の差は $0$ に確率収束し、積の期待値と期待値の積の差は $0$ に収束する（因子化）。